Определение оригинала по изображению

Обратное преобразование Лапласа определяется по формуле (1). Установим однозначное соответствие между изображением и оригиналом в точках непрерывности f (t).

Пусть F (s) является изображением, и пусть, когда, имеет конечное число полюсов. F (s) удовлетворяет условиям леммы Жордана.

Лемма Жордана.

При F (s), стремящейся на дуге к нулю при равномерно относительно arg s при любом положительном значении t, имеем:

(2).

Где — часть окружности с радиусом R, находится в полуплоскости .

А теперь, применяя теорему о вычете, получаем:

(3).

Так как изображение F (s) является оригиналом, где, то все полюсы находятся на прямой, параллельной мнимой оси и проходящее через точку .

При следует положить, что f (t) тождественно равна нулю. Следовательно, при согласно лемме Жордана справедливо:

дифференциальный уравнение эйлер геометрический.

При этом — часть окружности C с радиусом R, который находится в полуплоскости. Следовательно, при справедливо:

Так как изображение F (s) — аналитическая функция, для которой сумма вычетов равна нулю.

Решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами с помощью преобразования Лапласа

Имеется линейное дифференциальное уравнение:

(1).

Заданы начальные условия:

Алгоритм нахождения обыкновенных линейных неоднородных дифференциальных уравнений.

Алгоритм решения дифференциальных уравнений второго порядка.

(2).