Задание 1. Статистическое распределение

По статистическим данным случайных величин (СВ) Х и У требуется:

• 1) составить интервальные статистические ряды распределения частот и частостей;
• 2) построить гистограмму и полигон частостей;
• 3) составить эмпирические функции распределения F*(x) и F*(y), поcтроить их графики;

4) вычислить числовые характеристики выборки: среднюю выборочную, дисперсию выборочную (, среднее квадратическое выборочное отклонение (, асимметрию и эксцесс Аs (Х) (Аs (У)), выборочный коэффициент вариации V (Х) (V (У)).

Решение типового варианта Методику выполнения этого задания покажем на примере статистических данных (табл. 1), где СВ Х — стоимость основных производственных фондов (y.е/га), СВ У — стоимость валовой продукции (y.е/га).

1. Изучение непрерывной случайной величины (НСВ) начинается с группировки статистического материала, т. е. с разбиения интервала наблюденных значений СВ Х на k частичных интервалов равной длины и подсчета частот попадания наблюденных значений СВ Х в частичные интервалы. Количество интервалов можно выбирать произвольно, их число обычно бывает не менее 5 и не более 15. Можно для определения числа интервалов использовать формулу.

где n — объем выборочной совокупности. При объеме выборки n = 100 имеем Далее определяют размах вариации R, длину интервала наблюденных СВ Х,, где — наименьшее значение СВ Х, — наибольшее ее значение.

Определив размах вариации, определяют ширину частичного интервала. Ширина частичного интервала должна способствовать выявлению основных черт распределения и сглаживанию случайных колебаний признака в выборочной совокупности.

Т, а б л и ц, а 1. Статистические данные.

При построении частичных интервалов рекомендуется за начало первого интервала х0 взять, где h — ширина частичного интервала, определяемая по формуле, тогда границы частичных интервалов находятся следующим образом:

хо= хmin-, х1=хо + h, х2=х1 + h, …,.

В нашем случае, как определили ранее, k = 7, xmin=0,57, xmax=1,81, тогда R = xmax — xmin= 1,81- 0,57 = 1,24 и ширина частичного интервала есть. Если при нахождении h деление не выполняется нацело, то результат округляют в большую сторону.

Далее имеем и получаем.

Если бы выражалось десятичной дробью с двумя знаками после запятой, то границы частичных интервалов имели бы такой же вид, и тогда при подсчете частот в каждый интервал включаются те значения СВ Х, которые больше нижней границы и меньше или равны верхней границе соответствующего частичного интервала. Сумма всех частот должна быть равна объему выборки, т. е. .

Шкала интервалов и группировка исходных статистических данных сведены в табл. 2. В результате получили статистический ряд распределения частот.

Т, а б л и ц, а 2. Подсчет частот СВ Х.

Контроль:

Для получения статистического ряда частостей разделим частоты на объем выборки. В результате получаем интервальный статистический ряд распределения частостей. В табл. 3 представлен интервальный статистический ряд распределения частот и частостей СВ Х.

Т, а б л и ц, а 3. Интервальный статистический ряд распределения СВ Х.

Контроль:

2. Для построения гистограммы частостей на оси ОХ откладывают частичные интервалы, на каждом из которых строят прямоугольник, площадь которого равна частости соответствующего частичного интервала. Полученная при этом ступенчатая фигура называется гистограммой частостей. Если частости отнести к серединам частичных интервалов, то полученная ломаная линия образует полигон частостей.

На рис. 1 изображены гистограмма и полигон частостей.

3. Значения эмпирической функции распределения F*(x) записаны в соответствующей строке табл. 3. Составим аналитическое выражение для эмпирической функции распределения F*(x).

Замечание. При построении графика эмпирической функции распределения ее значения относят к верхней границе частичного интервала. График эмпирической функции изображен на рис. 2.

4. Числовые характеристики выборки найдем по формулам:

— средняя выборочная,.

— дисперсия выборочная,.

— выборочное среднее квадратическое отклонение,.

— асимметрия,.

— эксцесс,.

— выборочный коэффициент вариации, где хi и mi — соответственно середина и частота i-го интервала.

Составим табл. 4 для вычисления числовых характеристик СВ Х.

Т, а б л и ц, а 4. Вычисление числовых характеристик СВ Х.

Интервалы наблюденных значений СВ Х.	Середины интервалов хi.	Частоты.
0,465−0,675.	0,57.		0,57.	— 0,5229.	— 0,5229.	0,2734.	— 0,1429.	0,0748.
0,675−0,885.	0,78.		14,04.	— 0,3129.	— 5,6322.	1,7622.	— 0,6534.	0,1728.
0,885−1,095.	0,99.		37,62.	— 0,1029.	— 3,9102.	0,4028.	— 0,0418.	0,0038.
1,095−1,305.	1,20.		31,20.	0,1071.	2,7846.	0,2990.	0,0312.	0,0026.
1,305−1,515.	1,41.		15,51.	0,3171.	3,4881.	1,1066.	0,3509.	0,1111.
1,515−1,725.	1,62.		4,86.	0,5271.	1,5813.	0,8334.	0,4392.	0,2316.
1,725−1,935.	1,83.		5,49.	0,7331.	2,2113.	1,6299.	1,2015.	0,8856.
Cумма.		109,29.		6,3073.	1,1847.	1,4823.

Аналогичным образом выполним это задание для СВ У — стоимость валовой продукции (у. е/га).

1. Составим интервальный статистический ряд частот и частостей СВ У (табл. 5, 6).

.

.

Т, а б л и ц, а 5. Подсчет частот СВ У.

Контроль: .

Т, а б л и ц, а 6. Интервальный статистический ряд распределения СВ У.

Контроль:

2. Построим гистограмму и полигон частостей СВ У (рис.3).

3. Составим эмпирическую функцию распределения и построим ее график (рис. 4).

4. Вычислим числовые характеристики выборки (табл.7) (.