Лекция VIII МЕТОДИКА ПРОВЕДЕНИЯ ПЕРВЫХ УРОКОВ ГЕОМЕТРИИ В 7 КЛАССЕ

• 1. Методика изучения основных свойств простейших геометрических фигур.
• 2. Методика формирования геометрических понятий.
• 3. Обучение решению задач на первых уроках геометрии.

Методика изучения основных свойств простейших геометрических фигур

Содержание первых уроков геометрии по учебнику А. В. Погорелова составляет § 1 «Основные свойства простейших геометрических фигур», а по учебнику Л. С. Атанасяна и др. глава I «Начальные геометрические сведения».

Первые уроки геометрии в 7 классе во многом определяют успех в изучении этой дисциплины. Они знакомят учащихся с понятиями и их свойствами, которые являются базой для построения геометрии. Цель первых уроков заключается в том, чтобы добиться полного усвоения каждым учеником основных терминов, формулировок; свойств простейших геометрических фигур; понимания необходимости и сути логического обоснования утверждений. Несмотря на общность цели, содержание первых уроков геометрии по учебнику А. В. Погорелова отличается от соответствующего содержания по учебнику Л. С. Атанасяна и др. Поэтому рассмотрим их отдельно.

1. Учебник А. В. Погорелова: § 1 «Основные свойства простейших геометри ческих фигур»

Содержание первых уроков здесь составляют неопределяемые понятия (точка, прямая, принадлежность, «лежать на», длина отрезка, градусная мера угла); десять аксиом, которые описывают основные свойства неопределяемых понятий и связи между ними. Кроме неопределяемых, рассматриваются понятия: пересекаться, лежать по разные стороны, лежать по одну сторону, отрезок, полуплоскость, полупрямая, дополнительные полупрямые, расстояние, равные отрезки, угол, равные углы, откладывание отрезка и угла, равные треугольники и т. д.; вводятся также понятия: доказательство, теорема, условие и заключение теоремы, аксиома.

Следует заметить, что многие геометрические фигуры и их свойства, а также термины уже знакомы учащимся. Поэтому изучение геометрии на первых уроках в седьмом классе должно носить характер систематизации и обобщения знаний и умений, приобретенных учащимися в предыдущие годы обучения, и опираться на их опыт восприятия реального пространственного окружения.

Методика преподавания первых разделов курса планиметрии предполагает постепенный, плавный переход от конкретного к общему, постоянное обращение к окружающей действительности и другим видам наглядности. Большое внимание следует уделять обучению учащихся умению логически рассуждать, обосновывать, доказывать высказываемые предложения. С самых первых этапов изучения геометрии необходимо в единую систему увязывать содержание учебника, соответствующие записи на доске и в тетради с рисунками, являющимися опорой для учащихся при самостоятельной работе. На первом уроке геометрии необходимо познакомить учащихся с историей возникновения геометрии.

Геометрические объекты, с которых начинается изучение систематического курса планиметрии, уже знакомы учащимся, однако они предстают перед ними в новом виде. Точка и прямая рассматриваются как основные понятия, свойства которых раскрываются в аксиомах. Это находит отражение в записях, которые носят характер опорных схем: в них дается изображение точек и прямых, их обозначение на плоскости.

Изучение геометрии по учебнику А. В. Погорелова начинается с выделения основных геометрических фигур на плоскости: точки и прямой. Затем с помощью рисунков разъясняется смысл терминов: «лежат на», «принадлежат», «проходит», «прямые пересекаются». Указывается, что выражения «точки лежат на прямой», «точки принадлежат прямой», «прямая проходит через точки» имеют один и тот же смысл. Овладение этой терминологией, понимание се смысла — важная учебная цель, которую необходимо достичь на первом уроке геометрии.

А. В. Погорелов в своем учебнике широко использует обращение к учащимся: «вы видите на рис.», «вы видите, как строится» и т. д. Это обращение имеет несколько целей: 1) сформировать у учащихся представления пространственных образов простейших геометрических фигур; 2) показать образцы изображения простейших фигур на бумаге и выработать умения и навыки школьников в построении этих фигур на бумаге с помощью инструментов.

Методологическая концепция формирования геометрических понятий заключается в восхождении от чувственно-конкретного к абстрактному и в переходе от абстрактных представлений к их конкретизации.

Например, вначале понятия точки и прямой ассоциируются с их изображениями на листе бумаги, затем в мышлении школьников осуществляется переход к идеальным образам точки и прямой, не имеющим никаких физических свойств. Отрезок воспринимается как часть данной прямой, а затем это восприятие трансформируется в образ отрезка, обладающего основным свойством — иметь длину. Восприятие графической модели угла служит основой для формирования представления об угле как геометрической фигуре, обладающей основным свойством — иметь меру.

Угол треугольника, внешний угол, смежные углы и т. д. — это конкретные образы геометрической фигуры «угол». В мышлении учащихся осуществляется переход от абстрактных представлений к их конкретизации.

Таким же образом осуществляется изучение и других свойств изучаемых понятий. В качестве примера рассмотрим основные свойства откладывания отрезков и углов. Ученик должен посмотреть на рис., где показано, как с помощью линейки на полупрямой от её начальной точки можно отложить отрезок данной длины. Имея образец откладывания отрезка на полупрямой, учащиеся выполняют упражнения на реализацию этого действия. Осуществляется переход от конкретного к абстрактному. Учащиеся замечают свойство: на любой полупрямой от се начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и только один. Аналогично, от любой полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180°, и только один.

После каждой группы аксиом в учебнике приводится задача с решением, которое служит образцом аргументированного обоснования. Например, в конце пункта 3 «Точка и прямая» дана задача: Могут ли две прямые иметь две точки пересечения? Объясните ответ.

Р е ш е н и е. Если бы две прямые имели две точки пересечения, то через эти точки проходили бы две прямые. А это невозможно, так как через две точки можно провести только одну прямую. Значит, две прямые не могут иметь две точки пересечения.

В учебнике А. В. Ногорслова используются различные виды определений понятий: 1) через ближайший род и видовые отличия; 2) конструктивные (генетические); 3) описательные.

Для понятий, вводимых в начале учебника, характерны определения второго и третьего видов. Вначале используются описательные определения, затем — конструктивные, потом — определения «через ближайший род и видовые отличия». К описательным относятся определения таких понятий, как: пересекающиеся прямые, отрезок, луч, лежат по разные стороны и т. д.

К конструктивным — определения понятий угла, треугольника, угла треугольника и др.

Определения равных отрезков, равных углов, равных треугольников, смежных углов и т. д. — относятся к определениям «через ближайший род и видовые отличия».

Приведем примеры названных определений.

1. Описательные определения

«Точка В лежит на прямой Ь. Она не лежит на прямой а. Точка С лежит на прямой а и на прямой Ь. Прямые а и b пересекаются в точке С. Точка С является точкой пересечения прямых а и Ь».

Так дается описание объекта, принадлежащего к понятию пересекающихся прямых.

2. Конструктивные определения

«Углом называется фигура, которая состоит из точки — вершины угла — и двух различных полупрямых, исходящих из этой точки».

Особенностью определений этого вида является то, что они указывают на происхождение объекта, принадлежащего понятию, на способ его построения.

• 3. Определения «через ближайший род и видовые отличия»
• 1) «Два отрезка называются равными, если они имеют одинаковую длину».
• 2) «Биссектрисой угла называется луч, который исходит из его вершины, проходит между его сторонами и делит угол пополам» (связь между свойствами здесь конъюнктивная).
• 3) «Два отличных от нуля вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых» (связь между свойствами здесь дизъюнктивная).

Характер определений подчеркивается в особенностях контрольных вопросов: Какие отрезки называются равными? Какие углы называются равными? и т. д. Ответы на эти вопросы предполагают воспроизведения определений равных отрезков, равных углов и т. д. Вместе с тем есть и такие вопросы: Что такое отрезок с концами в данных точках? Что такое полупрямая? Что такое треугольник? и т. д. Ответы на эти вопросы предполагают описание построения объекта, принадлежащего к указанному понятию.

Харакгер определения указывает на главный акцент в формировании понятий. Если понятие вводится путем конструктивного определения, то основной акцент ставится на овладение способом построения объекта, принадлежащего понятию. Формирование понятия, определение которого построено по схеме «ближайший род и видовые отличия», предполагает овладение его существенными свойствами, запоминание определения.

В обоих случаях важным является умение использовать понятие в различных конкретных ситуациях.

В основе выбора методов обучения на данном этапе лежат следующие требования автора учебника: «Каждый ученик должен:

• а) практически убедиться в опытном происхождении основных свойств простейших фигур; выполнить письменную работу с использованием инструментов и соответствующей терминологии: «принадлежит», «расположены между», «по разные стороны», «разделяет», «измерить отрезок», «отложить угол» и т. д.;
• б) сформулировать свойство и решить приведенную в тексте учебника задачу;
• в) приблизиться к пониманию того, что доказывать нужно основные геометрические утверждения, опираясь лишь на аксиомы и ранее доказанные теоремы".
• 2. Учебник Л. С. Атанасяна и др.: глава I «Начальные геометрические сведения»

Содержание этой главы составляют понятия: точка, прямая, лежать на, пересекаться, отрезок, луч, дополнительные лучи, угол, внутренняя и внешняя области угла, наложение, равенство фигур, отрезок меньше (больше) другого, биссектриса угла, угол меньше (больше) другого, длина отрезка, градусная мера угла и т. д. Кроме того, первая глава содержит понятия прямого, острого и тупого углов, смежных и вертикальных углов.

Здесь формулируются утверждения:

• 1. Через две любые точки можно провести прямую и притом только одну.
• 2. Две прямые либо нс имеют общих точек, либо имеют только одну общую

точку.

• 3. Выбрав единицу измерения, можно измерить любой отрезок.
• 4. Равные отрезки имеют равные длины.
• 5. Меньший отрезок имеет меньшую длину.
• 6. Если точка делит отрезок на два отрезка, то длина всего отрезка равна сумме длин этих отрезков.
• 7. Равные углы имеют равные градусные меры.
• 8. Меньший угол имеет меньшую градусную меру.
• 9. Неразвернутый угол меньше 180°.
• 10. Если луч делит угол на два угла, то градусная мера всего угла равна сумме градусных мер этих углов.

Здесь же рассматриваются свойства смежных и вертикальных углов, а также перпендикулярных прямых.

Многие геометрические фигуры и их свойства, изучаемые на первых уроках геометрии 7 класса (по учебнику Л. С. Атанасяна), учащимся известны из курса математики 5−6 классов, поэтому их изучение в 7 классе должно опираться на имеющийся опыт учащихся и основываться на систематизации и обобщении их знаний и умений.

При формировании геометрических понятий большое внимание необходимо уделить этапу, на котором осуществляется непосредственное оперирование графическими моделями фигур. В процессе такого оперирования осуществляется переход к идеальным образам.

Методологическая концепция формирования геометрических понятий, заключающаяся в восхождении от чувственно-конкретному к абстрактному, является основой формирования геометрических понятий в учебнике Л. С. Атанасяна и др.

Также как и в учебнике А. В. Погорслова изучение геометрии здесь начинается с выделения точки, прямой и отрезка. Указывается, что для изображения прямых на чертеже пользуются линейкой, но при этом изображают лишь часть прямой, а всю прямую представляют продолженной бесконечно в обе стороны. Затем с помощью рисунков разъясняется содержание понятий: точка лежит на прямой, точка не лежит на прямой; прямая проходит через точку. Обращается внимание на известный учащимся факт: через любые две точки можно провести прямую и притом только одну.

Вначале учащиеся воспринимают взаимное расположение двух конкретных прямых. Это восприятие служит опорой для формулировки свойства взаимного расположения прямых как идеальных геометрических объектов: две прямые либо не имеют общих точек, либо имеют только одну общую точку. Точка пересечения двух прямых осознается как конкретный образ «точка».

Отрезок воспринимается сначала как часть данной прямой, ограниченной двумя точками, затем как геометрическая фигура, состоящая из двух точек и всех точек, лежащих между ними.

В дальнейшем при изучении треугольников (многоугольников и других фигур) стороны треугольника, его медиана, биссектриса и т. д. выступают в качестве конкретных образов геометрической фигуры «отрезок».

Аналогично формируются понятия «луч», «угол». Луч вначале воспринимается как часть прямой, ограниченная точкой. Угол — это геометрическая фигура, состоящая из точки и двух лучей, исходящих из этой точки. Указывается, что любой угол разделяет плоскость на две части. Если угол неразвернутый, то одна из частей называется внутренней, а другая — внешней областью угла. Это все поясняется рисунком. Отмечается, что фигуру, состоящую из угла и его внутренней области, также называют углом.

Такая двойственность в трактовке понятия «угол» на первых порах вряд ли целесообразна. В учебнике А. В. Погорелова возможность толкования угла как части плоскости (плоский угол) отмечается только в конце курса планиметрии перед изучением площадей.

В основе формирования понятия равенства фигур лежит представление о предметах, имеющих одинаковую форму и размеры. Существенное свойство этого понятия — совмещение наложением — возникает как абстракция опыта, заключающегося в совмещении фигуры Ф с фигурой Ф₂.

С помощью рисунков выясняется содержание таких понятий, как отрезок АС меньше отрезка АВ, середина отрезка, угол меньше другого угла, биссектриса угла.

Изложение материала первой главы осуществляется без использования терминов «определение», «доказательство», «теорема», многие факты не обосновываются, а разъясняются. Например, с помощью рисунка делается вывод о том, что неразвернутый угол составляет часть развернутого угла, меньшим считается тот угол, который составляет часть другого, развернутый угол больше любого неразвернутого угла.

Измерение отрезков и углов

Принципиально важными моментами здесь являются утверждения:

• 1) выбрав единицу измерения, можно измерить любой отрезок;
• 2) равные отрезки имеют равные длины;
• 3) если точка делит отрезок на два отрезка, то длина всего отрезка равна сумме длин этих отрезков.

Смысл этих трех утверждений разъясняется на конкретных примерах и рисунках. Рисунок как средство усвоения материала используется при формировании понятия градусной меры угла и изучении утверждений.

При изучении первой главы учащиеся впервые встречаются с дедуктивным обоснованием утверждений:

• 1) сумма смежных углов равна 180°;
• 2) вертикальные углы равны.

При рассмотрении этих утверждений следует специально подчеркнуть дедуктивный характер их обоснования.

Итак, существенным средством изучения геометрических фигур и их свойств является рисунок. В учебнике Л. С. Атанасяна и др. использование рисунков имеет ту особенность, что они снабжены «подстрочными» указаниями. Например, для разъяснения смысла понятия «неразвернутый угол СОВ составляет часть развернутого угла ЛОВ» используется рисунок с соответствующим замечанием. Слово «определение» используется только в конце курса геометрии седьмого класса, однако многие понятия, изучаемые в первой главе, определяются. Большинство определений имеет структуру «через ближайший род и видовые отличия». К ним относятся: определения дополнительных лучей, развернутого угла, равенства геометрических фигур, середины отрезка, биссектрисы угла, градусной меры угла, прямого, острого, тупого углов, смежных углов, вертикальных углов.

Кроме этого используются конструктивные и описательные определения. К конструктивным относятся определения отрезка и угла.

К описательным — определения понятий: прямая проходит через точки, пересекающиеся прямые, луч, внутренние и внешние области угла, отрезок меньше другого отрезка и т. д.

Вид определения должен учитываться учителем при опросе учащихся. Если определение понятия описательное, то нельзя требовать от учащихся заучивания определения и ставить им вопрос: «Что называется?». В этом случае следует предложить им объяснить, например, что такое луч, что означает «отрезок АС меньше отрезка АВ» и т. д.

Важным средством целенаправленного формирования геометрических понятий по учебнику Л. С. Атанасяна и др., в частности на первых уроках геометрии, являются практические задания, позволяющие усваивать геометрические факты в процессе оперирования моделями различных геометрических фигур.

Многие упражнения этого учебника ориентированы на мотивацию введения понятий и утверждений, раскрытию их содержания, целенаправленное формирование умений применять изучаемые понятия и факты в различных ситуациях. Все это позволяет учителю организовать учебную деятельность школьников так, что сами учащиеся принимают активное участие в «открытии» и обосновании геометрических фактов.

Осуществление такой учебной деятельности в рамках учебника А. В. Погорслова намного труднее. Обусловлено это трактовкой понятий, способами доказательства, ограниченной ролью упражнений.

3. Учебник А, Д. Александрова и др.: глава I «Начала геометрии»

Эта глава включает следующий учебный материал: «О чем и зачем геометрия» (§ 1). «Отрезки» (§ 2). «Углы» (§ 3). «Треугольники» (§ 4). «Некоторые применения первых теорем о треугольниках» (§ 5). «Четырехугольники» (§ 6). Вопросы, связанные с измерением величин отнесены во вторую главу учебника.

Многие положения методики изучения геометрии на первых уроках по учебникам А. В. Погорелова и Л. С. Атанасяна и др. (широкое использование опыта учащихся, систематизация и обобщение знаний, полученных ими в 5−6 классах, оперирование с моделями фигур как средство раскрытия содержания изучаемых понятий и фактов и т. д.) остаются справедливыми и при изучении геометрии по учебнику А. Д. Александрова и др. Следует отметить характерное для этого учебника широкое использование практической мотивации изучения геометрического материала, его связи с жизнью, техникой, практикой.