Методические рекомендации к изучению параллельности в пространстве

Изучение отношения параллельности (перпендикулярности) в пространстве проходит по одному плану: параллельность (перпендикулярность) прямых в пространстве, параллельность (перпендикулярность) прямой и плоскости, параллельность (перпендикулярность) плоскостей по единой схеме: определение — признаки — свойства.

Как мы уже отмечали выше, в курс планиметрии был возвращен материал о начальных сведениях по стереометрии, включающих не только сведения о частных видах многогранников, но и параллельность плоскостей. На первых уроках стереометрии целесообразно выявить соответствующую часть субъектного опыта учеников, систематизировать его. Это дает возможность изучать отношения параллельности и перпендикулярности в пространстве на многогранниках, что позволит выявить и обосновать свойства многогранников, существенно расширить тематику задач по этой теме. При этом само понятие многогранника может остаться неопределенным, представления о нем есть в опыте учащихся, здесь мы можем использовать идею «отложенной формализации», обратившись к аккуратному определению многогранника позднее.

Начать изучение темы следует с классификации взаимного положения прямых и плоскостей в пространстве, рассматривая модели пирамиды и параллелепипеда.

Сделать это возможно, выполняя следующие задания.

Задача 17.6.

Нарисуйте изображение параллелепипеда ABCDA_lB_lC_iD_l. С его помощью установите взаимное положение прямых, содержащих ребра А4, и AD, AD и DC, AD и В_]C_v АВ и CC_V AD и C_XD_X.

Каким может быть взаимное положение двух прямых в пространстве?

Как расположены относительно плоскости, содержащей грань ABCD, прямые АВ, AA_V С, С? Каким может быть взаимное положение прямой и плоскости?

Каково взаимное положение плоскостей граней АВС и ABB_V ADD_X и ВСС_Х плоскостей боковых граней? Каким может быть взаимное положение двух плоскостей в пространстве?

Задача 17.7.

На основании результата предыдущей задачи заполните пропуски в схемах на рис. 17.6.

Используя эти схемы, сформулируйте определения для каждого случая взаимного расположения прямых.

Рис. 17.6.

Составьте аналогичные схемы, описывающие взаимное положение прямой и плоскости; двух плоскостей. Сформулируйте соответствующие определения.

Самостоятельная работа учеников по установлению признаков скрещивающихся прямых реализуется при работе со следующим заданием.

Задача 17.8.

На рис. 17.7 прямая а лежит в плоскости, прямая b пересекает данную плоскость в точке Х_у не принадлежащей прямой а. Могут ли прямые а и b лежать в одной плоскости? Ответ обоснуйте. Какие утверждения вы использовали для обоснования ответа?

Рис. 17.7.

Правильный ответ на первый вопрос задачи позволит вам получить признак скрещивающихся прямых. Его формулировка такова: «Если прямая лежит в плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то прямые скрещиваются».

Последнее задание, как ясно из его формулировки, позволяет сформулировать и обосновать признак скрещивающихся прямых, а это делает возможным организовать самостоятельный поиск обоснования признака параллельности прямой и плоскости при выполнении следующего задания.

Вспомните, каким может быть взаимное положение прямой и плоскости?

Прямая b на рис. 17.7 пересекает плоскость а. Как может быть расположена точка пересечения прямой b и плоскости относительно прямой а. Каким в каждом из случаев будет взаимное положение двух прямых?

Может ли прямая b пересечь плоскость а, если прямые а и b параллельны? Ваш правильный ответ позволит заполнить пропуски в следующем утверждении: «Если прямая параллельна прямой, лежащей в плоскости а, то прямая и плоскость а…». Это утверждение выражает признак параллельности прямой и плоскости. Приведите обоснование признака. Запишите доказательство.

Аналогичный подход может быть применен при изучении свойств параллельных плоскостей. Школьникам предлагается следующая задача.

Рис. 17.8.

Делая на уроке труда наклонный распил прямоугольного бруска, ученик обнаружил, что противоположные стороны образовавшегося при этом четырехугольника (рис. 17.8) параллельны. Как помочь ученику обосновать этот вывод? Можно ли утверждать, что противоположные стороны четырехугольника на распиле не только параллельны, но и равны? Как вы думаете, какая фигура получится при распиле в самом деле?

Как будут расположены прямые, по которым две параллельные плоскости пересекает третья плоскость? Сформулируйте полученные вами результаты как теоремы, выражающие свойства параллельных плоскостей.

Отметим, что к этой задаче нужно будет еще раз обратиться при изучении теоремы о трех перпендикулярах, поскольку сечением параллелепипеда будет прямоугольник.

Большинство теорем о параллельности прямых и о параллельности плоскостей доказывается методом «от противного», поэтому необходима актуализация знаний о прямых и обратных теоремах, сути метода косвенного доказательства. Сделать это можно, повторяя материал о параллельности прямых.

В этом разделе в учебниках формулируется и доказывается достаточно много теорем существования, часть из которых следует предложить для самостоятельного изучения ученикам, интересующимся теоретической деятельностью в геометрии.

Кроме того, при изучении темы продолжается формирование опыта решения задач на построение сечений многогранников. Появляется новый тип задач на построение сечений — построение сечений многогранника плоскостью, параллельной какому-либо элементу многогранника, которые, с другой стороны, можно рассматривать как упражнения на закрепление и применение признаков параллельности прямой плоскости и признаков параллельности плоскостей.