Тест Дики — Фуллера

Рассмотрим авторегрессионный процесс первого порядка y_t. Чтобы выяснить, имеет ли он единичный корень, надо в уравнении.

проверить гипотезу о том, что коэффициент 8 равен 1. Часто рассматривают модификации этого уравнения

При |8|<1 формула (14.3) описывает авторегрессионный процесс первого порядка с нулевым средним, формула (14.4) позволяет ряду иметь ненулевое среднее, а формула (14.5) объясняет нестационарность наличием детерминированного тренда. При 8 = 1 формула (14.3) описывает случайное блуждание без дрейфа, в формуле (14.4) добавляется дрейф, а формула (14.5) описывает случайное блуждание относительно нелинейного тренда. Ошибки e_t предполагаются независимыми, одинаково распределенными случайными вели чи нам и.

Обычно делают замену р = 8 — 1 и вместо (14.3)—(14.5) оценивают по МНК эквивалентные уравнения.

тестируя гипотезу Я₀: р = 0 (т.е. 8 = 1 и у, — DS)

против альтернативы Я: р 1 и у, — TS).

Двусторонняя альтернатива р ф 0 (8 > 1) не используется, так как случай р>0 (8 > 1) соответствует взрывному (explosive) процессу у.

Для проверки гипотезы р = 0 используют обыкновенную ?-статистику.

Дики и Фуллер¹ показали, что если верна нулевая гипотеза, то распределение ?_р не совпадает с распределением Стыодента. Они нашли критические значения статистики ?_р, зависящие от наличия в уравнении константы и (или) тренда, для Т- 25, 50, 100, 250, 500. Маккинон^[1][2] нашел формулы для вычисления приближенных критических точек. Критические точки отрицательны и лежат левее критических точек распределения Стыодента. Если ?_р < ?_крит, то нулевая гипотеза отвергается.

Критерий Дики—Фуллера (DF) можно модифицировать для авторегрессионных процессов более высоких порядков. Предположим, что y_t есть авторегрессионный процесс второго порядка с ненулевым средним. Нетрудно видеть, что его можно привести в виду (14.4) с добавлением первого лага зависимой переменной:

Аналогично в случае авторегрессионного процесса более высокого порядка тестовое уравнение приобретает вид.

При наличии автокорреляции в ошибках в формулах (14.3)—(14.5) также добавляют авторегрессионные слагаемые с целью аппроксимировать скользящее среднее.

Итак, в расширенном варианте теста (ADI⁷) оценивается уравнение.

где взятые в фигурные скобки слагаемые могут отсутствовать. Процедура проверки и критические значения не меняются. Количество лагов должно быть достаточно большим, чтобы ошибки были некоррелированы. Обычно начинают с разумного достаточно большого k (скажем, k = 4 для квартальных данных), затем пытаются уменьшить число лагов, проверяя их совместную незначимость и следя за тем, чтобы не появилась автокорреляция. Избыток лагов уменьшит мощность^[3] теста, а при их недостатке в условиях автокорреляции нулевая гипотеза будет отвергаться слишком часто. Существуют процедуры автоматического подбора количества лагов.

Подобные тесты называются тестами на единичный корень, так как они проверяют наличие (не более одного) единичного корня у соответствующего характеристического уравнения. Тест на единичный корень можно использовать как тест на порядок интегрируемости. Для этого его последовательно применяют к исходному ряду, его первой, второй разности и т. д., до тех пор, пока нулевая гипотеза не будет отвергнута.

Пример 14.7

Пусть RMj — рыночная доходность, RFj — безрисковая доходность¹. Рассмотрим рыночную избыточную доходность MRKF, = RiXfj — RFj. В качестве безрисковой доходности RFj возьмем доходность трехмесячных казначейских векселей, рыночной доходности RMj — месячную доходность индексного портфеля New York Stock Exchange. Для проверки гипотезы Я_о:р = 0 (т.е. y_t — DS) против альтернативы Нj:р<�О (т.е. y_t — TS) оценим уравнение.

Автокорреляция отсутствует (/^-значение = 0,09), тестовая статистика.

имеет р-значение, равное 0,04. Следовательно, избыточная рыночная доходность имеет нулевой порядок интегрируемости и является рядом, стационарным с точностью до тренда.

• [1] Dickey D. A., Fuller W. A. Distribution of the Estimators for AutoregressiveTime Series with a Unit Root //Journal of the American Statistical Association, 1979.Vol. 74. P. 427—431; Dickey D. A., Fuller IT. A. Likelihood Ratio Statistics for Autoregressive Time Series With a Unit Root // Econometrica, 1981. Vol. 49. P. 1057—1072;Fuller W. A. (1976) Introduction to Statistical Time Series, Wiley, New York.
• [2] MacKinnon J. G. (1991) Critical Values for Cointegration Tests in Long-run Economic Relationships: Readings in Cointegration, edited by R. F. Engle andC. W. J. Granger, Oxford University Press.
• [3] Напомним, что мощность есть единица минус вероятность ошибки II рода.