Добавления к Главе 3

Парадоксы наивной Канторовской теории множеств

А. Парадокс Б. Рассела (1902 г.). Множество М состоит из элементов, некоторые из которых могут быть, в свою очередь, множествами. Например, множество М ={1, {2,3}} состоит из двух элементов, один из них {2, 3} - множество. В большинстве случаев множества нс являются элементами самих себя. Рассмотрим-определим множество S всех таких множеств Р, что Р Теперь если само S g S, то по определению множества S оно есть одно из множеств Р и поэтому должно S & S. Если же 5 е S, то опять, в соответствии с определением множества S, оно не есть ни одно из Р и потому S Так что в любом случае одновременно S е S и S Противоречие. Это пример логического парадокса.

B. Парадокс Берри (1906). Из конечного числа букв русского алфавита можно составить лишь конечное число слогов. Тогда конечным будет число фраз, которое содержит не более 60 слогов, и, значит, лишь конечное число натуральных чисел можно описать фразами, состоящими из не более чем 60 слогов. Пусть к есть наименьшее из натуральных чисел, каждое из которых не характеризуются никакой фразой русского языка, содержащей не более шестидесяти слогов. Выделенная фраза характеризует число к и содержит не более 60 слогов. Парадокс.

C. Парадокс лжеца. Некто говорит: «…// всегда лгу». Если этот некто действительно лжец, то он говорит правду. Если же этот некто всегда правдив, то его оговор себя ложен.

Парадокс Берри и парадокс лжеца относятся к семантическим антиномиям. Именно стремление избежать парадоксов разумным ограничением языка и набора исходных понятий привело в начале XX века к идее аксиоматизации всей математики и в первую очередь к аксиоматизации математической логики и теории множеств (см. [15], [37], [83] и др.). Но и в начале XXI века в этой области математики есть нерешенные проблемы.

Об основаниях математики

Среди математиков почти общепризнано значение теории множеств как фундамента всех математических дисциплин. Но из общепризнанности не следует необходимость построения всей математики на базе исключительно теории множеств. Для примера можно назвать работы А. А. Маркова [48], Л. С. Понтрягина [59] и др., в которых авторы минимально используют символы, терминологию и понятия теории множеств. Что касается соответствия логики и математики, роли логики в обосновании математики, то в среде математиков на этот предмет имеется много, в том числе и противоположных, точек зрения. В некотором смысле примирительной является позиция одного из ведущих специалистов XX века по математической логике американского ученого Алонза Черча (р. 1903), изложенная в его статье «Математика и логика» [49, с. 209−215]. Анализируя утверждение о приоритете логики (имеется в виду логика в широком смысле, т. е. значительно расширенная традиционная логика) перед математикой, он предлагает «…подвести итоги и даже предпринять попытку вывести решение» [49, с. 209]. Не умаляя заслуг сторонников логицизма, т. е. сторонников выводимости всей математики из логики, А. Черч резюмирует: «Любое обоснование математики или логики действительно в какой-то мере содержит круг, так как в нем всегда имеются необоснованные предпосылки, которые должны быть приняты на веру или интуитивно. Мы можем уменьшить число таких предпосылок, по fie можем

их уничтожить. Как назвать минимум предпосылок, оставшихся после такого сокращения, математикой или логикой, или и тем и другим, или ни тем ни другим — это вопрос терминологии" [49, с. 214].