Определение закона распределения показателей качества

Исследования показывают, что распределение показателей качества изделий чаще всего подчиняется нормальному закону (закону Гаусса). Это обусловлено тем, что согласно теории вероятностей распределение суммы большого числа взаимно независимых случайных величин, если их влияние на общую сумму ничтожно мало и примерно одинаково, подчиняется именно нормальному закону. Хотя на практике встречаются и другие распределения (рис. 4.9). Так, по данным А. А. Маталина, закон нормального распределения в большинстве случаев справедлив для размеров заготовок, обрабатываемых с точностью квалитетов 8−10 и грубее. При обработке заготовок с точностью 7−8, а в некоторых случаях и 6-го квалитетов распределение их размеров в большинстве случаев подчиняется закону Симпсона (закону равнобедренного треугольника). Закону равной вероятности подчиняется распределение размеров заготовок, обрабатываемых с точностью квалитетов 5−6 и выше. Распределение таких величин, как эксцентриситет, биение, отклонение от параллельности и перпендикулярности, овальность, конусность и т. п., которые характеризуются положительными значениями (без учета знака), подчиняется закону Релея (закону эксцентриситета).

Рис. 4.9. Распределение f (x) показателей качества изделий х по нормальному закону (а), закону Симпсона (б), равномерному закону (в) и закону Релея (г)

Визуально вид распределения может быть выявлен с помощью гистограмм распределения.

• Гистограммой называют столбиковую диаграмму, характеризующую распределение частот появления показателей качества в диапазоне их изменчивости.

Пример 4.12

Для исследования распределения диаметров валов, изготовленных на токарном полуавтомате, были измерены диаметры 90 валов (табл. 4.2).

Таблица 4.2

Исходные данные для построения диаграммы

Диапазон рассеяния размеров составляет.

Число интервалов , на которое разбивается диапазон рассеяния размеров, можно определить по уравнению:

Ширина интервала составит таким образом.

После этого определяем границы интервалов и ведем подсчет частот размеров диаметров валов, находящихся в каждом интервале (табл. 4.3).

Поданным таблицы строим гистограмму и полигон (эмпирическую кривую) распределения (рис. 4.10).

Таблица 4.3

Таблица частот

Номер интервала.	Граница интервала, мм.	Середина интервала, мм.	Подсчет частот.	Частота. т	Относительная частота т/п
	От 20,00 до 20,05.	20,025.			0,022.
	От 20,05 до 20,10.	20,075.			0,1.
	От 20,10 до 20,15.	20,125.			0,189.
	От 20,15 до 20,20.	20,175.			0,289.
	От 20,20 до 20,25.	20,225.			0,222.
	От 20,25 до 20,30.	20,275.			0,144.
	От 20,30 до 20,35.	20,325.			0,033.
Итого.					0,999.

Рис. 4.10. Гистограмма (1) и полигон (2) выборочного распределения размеров диаметра валов (см. табл. 4.1).

В качестве критерия проверки соответствия эмпирического распределения теоретическому может быть использован критерий («хи-квадрат») Пирсона.

где  — число интервалов; - соответственно эмпирические и теоретические частоты. Если , гипотеза соответствия эмпирического распределения теоретическому принимается с вероятностью . Здесь к — число степеней свободы ; где r — число параметров предполагаемого распределения. В частности, если предполагаемое распределение — нормальное, то оно оценивается двумя параметрами (математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение), т. е. и число степеней свободы

Теоретические частоты , где р, — вероятность попадания исследуемого показателя в интервалы . Здесь  — функция Лапласа. По исходным данным находим и . Дальнейшие расчеты проводятся в форме табл. 4.4.

Таблица 4.4

Определение теоретических частот

Номер интервала z	Границы интервала.		Функция Лапласа.		Вероятность р,	Частота. т;
	— 2,67.	— 1,96.	0,4962.	0,4750.	0,0212.
	— 1,96.	— 1,25.	0,4750.	0,3944.	0,0806.
	— 1,25.	— 0,54.	0,3944.	0,2054.	0,189.
	— 0,54.	0,17.	0,2054.	0,0675.	0,2729.
	0,17.	0,88.	0,0675.	0,3106.	0,2431.
	0,88.	1,59.	0,3106.	0,4441.	0,1335.
	1,59.	2,30.	0,4441.	0,4893.	0,0452.

Примечание. Для вычисления использовалась функция Лапласа

В этом случае для отрицательных значений t значение . когда меняет знак с отрицательного значения на положительное, то

Значения округляются так, чтобы . В соответствии с вычислениями.

С вероятностью можно утверждать, что эмпирическое распределение соответствует нормальному.