Конечные поля или поля Галуа

В этой главе мы рассмотрим конечные поля, т. е. ноля, в которых есть лишь конечное число элементов. Они также называются полями Галуа, в честь Э. Галуа, который их первым изучил.

Оказывается, все поля Галуа можно получить факторизацией, но некоторому идеалу кольца целых чисел или кольца многочленов.

Поле вычетов по модулю простого числа

Сначала рассмотрим кольцо целых чисел. Возьмем произвольное простое число р и построим идеал (р) = {пр п 6 Z}, т. е. возьмем все кратные р.

Кольцо Z/pZ вычетов по модулю этого идеала описано в примере 2.16. Напомним, что оно состоит из р элементов.

Поскольку Z — евклидово, ар — простое, по теореме 2.36 кольцо Z/pZ является полем. Это поле вычетов по модулю р и есть простейшее поле Гапуа, которое мы далее будем обозначать GF (p). Операции сложения и умножения в этом поле — это сложение и умножение целых чисел по модулю р. Скажем, чтобы найти х + у, необходимо вычислить г = (х + у) mod р, класс вычетов z и будет результатом сложения х и у. Ясно также, что можно брать и любые другие представители тех же самых классов вычетов: результат сложения по модулю р не изменится.

Поля GF (p) — это конечный аналог числовых полей, более точно, — поля рациональных чисел. Чтобы увидеть это, введем понятие характеристики поля. Рассмотрим в некотором поле F множество кратных единицы:

Если порядок 1 в аддитивной группе поля бесконечен, то характеристика поля F по определению равна 0. В этом случае все кратные единицы различны. В поле F выполнимы все арифметические действия, поэтому из этих кратных единицы мы можем построить произведения п-к~¹ и противоположные к ним (обратные относительно сложения). Арифметические операции с этими числами выполняются так же, как с обыкновенными дробями, это легко проверить, используя свойства операций сложения и умножения в поле. Поэтому, добавляя к построенным выше элементам поля элемент 0, мы получаем в поле F подполе, которое изоморфно полю рациональных чисел Q.

Если порядок 1 в аддитивной группе поля конечен, то он и есть по определению характеристика поля char F. Повторяя описанную выше процедуру добавления к кратным единицы «дробей», «противоположных чисел» и 0, мы получим подполе поля F, содержащее charF элементов. Нетрудно видеть, что оно изоморфно кольцу классов вычетов Z по модулю (char F). Но (пт) С (гг), поэтому чтобы кольцо классов вычетов по модулю р было полем, необходимо (и достаточно, как было показано выше), чтобы р было простым числом.

Итак, мы показали неформально справедливость следующих утверждений.

Утверждение 3.1. Если характеристика поля не равна нулю, то она — простое число.

Утверждение 3.2. В каждом поле F есть либо подполе, изоморфное Q, либо подполе, изоморфное GF (p), р = char F.

Читателю предлагается построить строгие доказательства этих утверждений, следуя намеченному выше плану.

Замечание 3.3. Не нужно думать, что все поля положительной характеристики конечны. Вот простейший пример бесконечного ноля положительной характеристики. Пусть к произвольное иоле. Построим новое поле к (ж) — поле рациональных функций над к. По определению, элементами этого поля, т. е. рациональными функциями, являются отношения многочленов (т. е. дроби) г = p/q, где р, q? к [ж], причем q ф 0. По определению, pi/qi = Р2/Я21 если piq2 = P2QiОтсюда следует, что для любого d выполняется равенство (dp)/(dq) = p/q. Поэтому дроби можно приводить к общему знаменателю, что дает возможность их складывать: p/q + ujv = (pv)/(qv) + 4- (qu)/(qv) = (pv + qu)/qv. Умножение дробей определяется естественным образом: (p/q) • (u/v) = (pu)/(qv). Отмстим, что k[x] С k (x) — каждый многочлен р отождествляется с дробью р/1. Ясно, что эта конструкция действительно дает поле. Если в качестве к взять конечное поле GF (q) характеристики р, то мы придем к бесконечному полю GF (q)(x), которое также имеет характеристику р.