Пересечение конической поверхности плоскостью. 
Построение развертки

При пересечении конической поверхности вращения плоскостью получаются различные линии — прямые, замкнутые кривые — окружности и эллипсы, незамкнутые кривые — параболы и гиперболы, а также точка. Вид указанных линий определяется положением секущей плоскости относительно вершины конической поверхности и соотношением между величинами углов наклона секущей плоскости и образующей конической поверхности к ее оси.

Если секущая плоскость ?(?") проходит через вершину (рис. 9.6, а), то пересечение плоскости с конической поверхностью в зависимости от угла? наклона плоскости к оси поверхности образует: при - точку;

Рис. 9.6.

при - прямую, по которой плоскость касается конической поверхности;

при -две прямые (образующие).

Если плоскость пересекает коническую поверхность и при этом не проходит через вершину, то в их пересечении имеют место (рис. 9.6, б, в)

при ф = 90° - окружность (плоскость, перпендикулярная оси, окружность AMB (А «М» В") в пересечении с плоскостью, а (а") — рис. 9.6, б);

при - эллипс (эллипс CMD (C" M «D «) в пересечении с плоскостью? (? «) — рис. 9.6, б — плоскость пересекает все образующие конической поверхности);

при - гипербола (плоскость параллельна двум образующим и пересекает коническую поверхность по обе стороны от вершины, например, гиперболы с вершинами Е (Е") и Д F") в пересечении с плоскостью или с вершинами /(1") и 2(2 «) в пересечении с плоскостью , рис. 9.6, в);

при - парабола (плоскость параллельна одной из образующих, например, парабола с вершиной К (К" в пересечении с плоскостью , рис. 9.6, в).

Наглядное изображение кривых — эллипса, гиперболы, параболы, получающихся при пересечении конической поверхности плоскостями приведено на рис. 9.7.

Рис. 9.7.

Пересечение конуса с плоскостью. Для построения кривой линии, получаемой при пересечении конической поверхности плоскостью, в общем случае находят точки пересечения образующих конической поверхности с секущей плоскостью. Соответствующий пример в случае пересечения фронтально проецирующей плоскостью, а (а") конуса с вершиной (/приведен на рис. 9.8. Построение линии пересечения плоскости с конической поверхностью обычно выполняют в следующем порядке. Основание конуса делят на равное число частей, обычно 12, проводят горизонтальные проекции Cl', C 2',…, G'12' образующих и строят их фронтальные проекции. На фронтальной проекции отмечают фронтальные проекции точек пересечения построенных образующих на видимой поверхности конуса с секущей плоскостью a (a"): C «, D», F" ,? «, а также крайних точек А «и В «. Горизонтальные проекции строят в проекционной связи на соответствующих проекциях образующих — точки А ', C', D', F', 1', В' на проекциях образующих ClС2 СЗ', CS', С6', G '7 ', а также симметричные им точки на проекциях образующих C12', CIV, C9', G '8. Горизонтальную проекцию E' точки E на образующей G'4' и симметричной точки на образующей C10' строят с помощью окружности радиуса E «Ei» , проведенной на поверхности конуса.

На фронтальной проекции большая ось AB эллипса — линии пересечения фронтально проецирующей плоскости с конусом — про;

Рис. 9.8.

ецируется в натуральную величину: . Малая ось MN эллипса перпендикулярна большой и проецируется в точку M" (N") в середине фронтальной проекции А «В» большой оси.

Построение горизонтальной проекции малой оси эллипса выполнено с помощью параллели с проекциями М" 14″ и M'14'N'. Горизонтальная проекция M 'N' малой оси эллипса построена в проекционной связи как хорда горизонтальной проекции M' 14'N' этой параллели.

Профильная проекция линии среза конуса также построена по фронтальной и горизонтальной проекциям точек в проекционной связи.

Отметим, что на профильной проекции точки А и В — низшая и высшая, M'" и N'"  — крайние (правая и левая), E'" и симметричная ей — точки касания проекций G '" 4 и G '" 10 образующих.

Рис. 9.9.

Построение натурального вида фигуры среза — выполнено по координатам в системе координат X1,.у, (см. также рис. 6.9).

Наряду с построением эллипса по точкам возможно построение его по большой и малой осям. Соответствующий пример приведен на рис. 7.1.

Развертка боковой поверхности прямого кругового конуса представляет собой круговой сектор с углом при вершине, где d — диаметр основания,? — длина образующей конуса. Построение сектора (рис. 9.9) выполняют с разбивкой его на равные части соответственно разметке образующих на чертеже (см. рис. 9.8 конуса).

Используя положение образующих на чертеже и на развертке, находят положение точек на развертке при помощи натуральных величин отрезков от вершины до соответствующих точек линии пересечения на чертеже. При этом расстояния и соответствуют фронтальным проекциям . Отрезки образующих от вершины до других точек проецируются на фронтальную плоскость проекций с искажениями. Поэтому их натуральную величину находят вращением вокруг оси конуса до положения, параллельного фронтальной плоскости проекций. Например, положение точки D0 на развертке найдено при помощи отрезка - натуральной величины образующей от вершины G до точки D, точки - при помощи отрезка (или G «?

Полная развертка поверхности усеченного конуса состоит из трех частей: 1) развертки боковой поверхности, ограниченной дугой окружности радиуса /, кривой BisInFaE0D0CaA0 и симметричной ей; 2) круга основания; 3) натурального вида фигуры сечения.

На рис. 9.8 показано построение фронтальной и горизонтальной проекций точки К по изображению K0 этой точки на развертке (рис. 9.9). Для построения проведена образующая G0U0 через точку К на развертке. C помощью отрезка It построена горизонтальная проекция 13'. Через нее проведены горизонтальная G'13' и фронтальная G" 13 « проекции образующей G — 13. Отрезок G0K0 = G „Kt“ отмечен на проекции образующей G» 7″ . Обратным вращением построена фронтальная проекция К" точки К на фронтальной проекции образующей G «13 «. Горизонтальная проекция К' построена с помощью линии связи.