Стохастические дифференциальные уравнения

Поведение многих реальных систем подвержено флуктуациям и в этом смысле не описывается строгими детерминированными законами. В качестве примеров можно указать броуновское движение, колебания стрелки гальванометра, флуктуации в электрических цепях и т. д. В таких случаях говорят о стохастических процессах, в которых рассматриваются вероятности реализации тех или иных конкретных условий. При этом уравнения, определяющие свойства системы, становятся уравнениями для случайных переменных, т.с. стохастическими уравнениями.

Различают три основных типа стохастических дифференциальных уравнений в соответствии с формами, в которых случайные элементы входят в уравнение:

• 1) случайные начальные условия;
• 2) случайные действующие силы;
• 3) случайные изменения коэффициентов уравнения, зависящих от параметров системы.

Типичный пример уравнения первого типа — это уравнение движения частицы, определяемое законами, когда случайный элемент обусловлен только неопределенностью начальных условий.

Во втором случае задается стохастический процесс, определяющий случайную действующую на систему силу. Типичный пример — броуновское движение частицы под действием случайных сил.

В третьем случае параметры системы представляют собой случайные переменные. Например, электрическая цепь, в которой случайным образом меняется емкость конденсатора.

Разумеется, возможны ситуации, когда случайные элементы возникают в результате комбинации различных действующих причин. В качестве примера, позволяющего проиллюстрировать описываемую проблему без детального анализа различных вероятностных моментов, рассмотрим стохастическое уравнение первого порядка:

которое описывает одномерное движение классической частицы под действием силы трения, пропорциональной скорости v (t)> и некоторой «случайной» силы, описываемой функцией u (t).

Отметим, что несмотря на то, что уравнение (1) формально выглядит как второй закон Ньютона и в этом смысле является «точным» для механического поведения классической частицы, в действительности оно является модельным, так как в нем использовано модельное выражение для силы сопротивления движению в сплошной среде.

Формальное решение уравнения (1) записывается в виде.

однако случайный, непредсказуемый характер поведения функции u (t) делает невозможным обычный путь решения этого уравнения, связанный с вычислением входящего в выражение (2) интеграла.

Для дальнейшего решения задачи следует задать ансамбль реализаций случайной силы u (t) и провести усреднение всех фигурируемых в (2) величин по этому ансамблю. Обозначая средние значения угловыми скобками, получим.

Простейший ансамбль реализаций случайной величины — это так называемый «белый шум», при котором справедливы соотношения.

где 6(т) — 6-функция Дирака. Соотношения (4) соответствуют независимым случайным значениям величины u (t) в разные моменты времени. В случае «белого шума» (4) уравнение (3) дает т. е. средняя скорость частицы убывает со временем по экспоненциальному закону. Рассмотрим теперь (v²(f)). Учитывая равенство.

с помощью (2) и (4) получим.

При стремлении / -> <�" система «забывает» о начальных условиях и значение стремится в случае теплового равновесия к величине, равной кТ/т, где к — постоянная Больцмана; Т — абсолютная температура. Поэтому С/2а = кТ/т, и соотношение (7) переписывается в виде.

Равновесие практически устанавливается при значениях времени / «1 / а. Приближение (4) используется при описании процессов типа броуновского движения, когда зависящая от скорости сила вязкого трения существует и в отсутствие флуктуаций воздействия среды на частицу, a u (t) описывает чисто случайную силу.

Теперь рассмотрим зависимость от времени координаты х броуновской частицы. Считая х (0) = 0, имеем.

Для при этом получаем следующее выражение:

С помощью соотношений (2) и (4) для (v (s)v (p)) имеем:

Учитывая соотношения (4) и (8), корреляционной функции (v (s)v (p)) можно придать вид.

после чего для (х²(/)) имеем.

Выражение для среднего значения квадрата смещения частицы оказывается разным в двух предельных случаях больших (/ «1 /а) и малых (/ / а) времен. С помощью (13) находим.

Из (14) следует, что на больших временах броуновская частица движется стохастически. Наоборот, при малых временах, как следует из (15), система обнаруживает «динамическое поведение», хотя это поведение соответствует не отдельной частице, а некоторому усредненному образу, так как речь идет не о х²(/), а о среднем значении этой величины.

Отметим, что два последовательных характерных этапа эволюции системы, соответствующие формулам (14) и (15), возникают при использовании в уравнении (1) силы сопротивления, пропорциональной скорости. Сама такая сила устанавливается спустя некоторый промежуток времени /_с, по истечении которого можно представить результат взаимодействия выделенной частицы с окружающими частицами как некоторую усредненную постоянно действующую силу. Поэтому в соотношении (15) более правильным будет записать t_c < / [/а. На временах, меньших t_c, поведение выбранной частицы описывается чисто динамически. В принятом подходе t_c выступает именно как феноменологический параметр, оценить или вычислить который можно только в рамках более детальной модели.

При более общем подходе к описанию стохастических систем и, в частности, к описанию броуновского движения вводят представление о функциях распределения р (х₀, /₀|х, г), определяющих вероятность обнаружить броуновскую частицу в интервале (х, x + dx) в момент /, при условии, что в момент /₀ она была в точке Xq. (Для простоты опять рассматривается одномерное движение.) Функция распределения считается нормированной:

Кроме того, эта функция удовлетворяет начальному условию, поэтому.

Вероятности переходов, взятые для последовательных промежутков времени, считаются независимыми, поэтому произведение.

соответствует вероятности обнаружить частицу в момент времени t + dt в области (х, x + dx), если в момент /₀ она находилась в точке х₀, а в момент/ — в области (х', х' + dx'). Проинтегрировав по всем промежуточным состояниям х' в момент /, получаем вероятность р (дсо, /₀|х, t + dt). Поэтому.

Это — уравнение Смолуховского (нелинейное интегральное уравнение). Оно служит основой для вывода линейного дифференциального уравнения Фоккера—Планка, широко используемого при рассмотрении свойств стохастических систем — динамических систем с флуктуирующими параметрами. Обобщение рассмотрения на трехмерный случай не представляет особого труда и приводит к дифференциальным уравнениям в частных производных.

Широкое распространение при изучении стохастических явлений самой различной природы получило так называемое master equation — управляющее уравнение.

В этом соотношении w, — вероятность нахождения системы в состоянии, характеризуемом набором характеристик / (квантовых чисел, если речь идет о физической системе), Ру — вероятность перехода в единицу времени из состояния j в состояние /: Ру > 0. В теоретической физике уравнение (19) называется уравнением кинетического баланса Паули, а вероятности w, трактуются как диагональные элементы статистического оператора в собственном представлении.

Почти «очевидное» из интуитивных соображений, это уравнение может быть обосновано с помощью достаточно строгих соображений или выведено на основе других уравнений, например с помощью уравнения С мол ухо вс кого. Действительно, представим вероятность р (х', /| х, t + dt) в виде.

где первое слагаемое в правой части характеризует вероятность частице остаться через dt в точке х', а второе — вероятность перейти за то же время dt в точку х. Учитывая условие нормировки (16), легко с помощью (20) получить соотношение.

Подставляя (20) в уравнение Смолуховского (18), с учетом (21) приходим к соотношению.

Из соотношения (22) непосредственно следует дифференциальное уравнение.

которое в точности соответствует уравнению (19).

Управляющее уравнение (19) сохраняет нормировку распределения вероятностей и является уравнением релаксационного типа: описываемая этим уравнением система с течением времени необратимо рслаксирует к некоторому не зависящему от времени стационарному состоянию. Выбор того или иного модельного представления для вероятностей переходов /*• позволяет использовать это уравнение для описания самых различных стохастических процессов. В частности, уравнение Паули содержит в себе в качестве частного случая кинетическое уравнение Больцмана и некоторые его квантовые обобщения.

Для удобства математического исследования этого уравнения оно переписывается в матричном виде для вектора состояния W с компонентами ш:

где, А — матрица перехода с элементами При вещественных вероятностях переходов /*• матрица Л эрмитова, т. е. ее собственные значения вещественны, а собственные векторы ортогональны. Формальное решение уравнения (24) записывается в виде.

где W (0) — вектор состояния в начальный момент времени. Свойство эрмитовости матрицы Л позволяет легко доказать релаксационный характер уравнения (19).

Задачи и упражнения

• 1. Покажите, что v (t), определяемое формулой (2), является решение уравнения (1).
• 2. Докажите справедливость соотношений (6) и (7).
• 3. Получите соотношение (12).
• 4. Получите формулу (13) для (х²(/)}.
• 5. Используя (13), докажите соотношения (14) и (15).
• 6. Используя соотношения (5) и (9), найдите величину (*(/)) и проанализируйте результат в двух предельных случаях: at и я/"1. Сравните с соотношениями (14) и (15).
• 7. Получите соотношение (22).

Литература

: [51, [21].