Способ представлении рационального числа десятичной дробью

Пусть дана положительная правильная дробь —. Рассмотрим в.

b

общем виде деление «уголком» натурального числа а на натуральное число b > а.

Поскольку а <�Ь, то в частном ставим «ноль целых» и делимое увеличиваем в 10 раз. После этого 10а делим на h с остатком: берем по Cj и в остатке получаем г_х. Затем, остаток увеличиваем в 10 раз и делим на b с остатком: берем по с₂ ив остатке получаем г₂. И дальше повторяется то же самое. Зафиксируем в виде определения этот процесс деления уголком.

• 4.4.5. Определение. Алгоритм деления «уголком» натурального числа а на натуральное число b > а состоит в следующем.
• 1. (Начало алгоритма.) Делимое а увеличиваем в 10 раз и делим на b с остатком.
• 2. (Шаг алгоритма.) Остаток увеличиваем в 10 раз и делим на b с остатком.

В результате получаем последовательность неполных частных 0, с, с,…

4.4.6. Теорема. Всякое рациональное число представимо в виде периодической десятичной дроби.

Доказательство. Произвольное рациональное число q

а ,.

можно представить в виде q = с₀ + —, где а, я, с₀ — целые числа,.

Ь

причем 0 Поэтому задача сводится к представлению в виде десятичной дроби положительной правильной дроби —.

b

Запишем шаги алгоритма деления «уголком» числа а на число Ь.

Наша задача состоит в том, чтобы доказать, что в результате этого алгоритма получается периодическая десятичная дробь 0, с, с₂…, которая.

а

является представлением числа — в точном соответствии с определением.

b

этого понятия (см. 4.4.4).

1. Индукцией по п докажем равенство.

Разделив обе части первого равенства из (1) на 10/?, получим а с_{ /*,.

— =, то есть при п =1 равенство (2) верно.

Пусть для натурального числа п равенство (2) верно. Разделив обе части (/* + 1)-го равенства из (1) на 10″ ^+|/>, будем иметь:

—+ -—v-. Отсюда, используя индуктивное 10 ^пЬ 10″ ⁺ 10^,+1/>

предположение, получаем:

Итак, равенство (2) доказано.

2. Для любого п имеют место неравенства.

Эти неравенства непосредственно вытекают из (2), достаточно лишь заметить, что из 0 < r" < b следует, что ^Г" < —.

• 10^пЬ 10″
• 3. Докажем, что последовательность неполных частных 0, q, c_lr. из (1), записанная в виде 0, с, с₂…, является десятичной дробью. Для этого нужно доказать, что — цифры ив записи 0, с, с₂… нет

«хвоста» из девяток.

Из первого равенства в (1) получаем с_х, откуда 0<�с₍ <10,.

b

то есть с, — цифра. Аналогично, рассматривая п -е равенство из (1), убеждаемся, что с_п — цифра.

Докажем, что в записи 0, qc₂… девятка не может повторяться бесконечное число раз подряд. Предположим противное, пусть последовательность цифр имеет вид 0,c_lc_]f.c_m99… Обозначим.

С", = — +…+. По 2 для любого I = 1,2-.

^т 10 10'" .

Отсюда 0<�С," + —-—— <�—г, то есть 10'" ⁺'(С", +—?—-)<1 10'" 6 10″ ^,+х 10'" Ь

для любого натурального числа j, что противоречит аксиоме Архимеда для рациональных чисел. Итак, О,^^^… является десятичной дробью.

4. Число — представимо в виде десятичной дроби 0, с, с₂…, что.

b

вытекает из 2. Но тогда данное рациональное число q представимо в виде десятичной дроби с₀, с, с₂…

5. Докажем, что дробь с₀, с, с₂… периодическая. Обратимся к соотношениям (1). Поскольку 0<�г_п<�Ь для любого и, все остатки г_п не могут быть различными. Следовательно, при делении а на b «уголком» на некотором шаге мы получим остаток, который ранее уже встречался. Но тогда, начиная с этого момента, цифры частного также будут повторяться, и мы получим период ?

Упражнения

" 28.

1. Найдите представление в виде десятичной дроби каждого из чисел: —,.

_8_ 6 23.

• 2 65' «26' ^_328‘
• 2. Докажите, что несократимая дробь — представима в виде конечной десятичной

/>

дроби тогда и только тогда, когда b = 2″ '5″ при некоторых целых т> 0, п? 0.

3. Напомним, что если (10,/>) = I, то наименьшее натуральное число к такое, что 10* = 1 (mod b) (т.е. 10* -1 :/)), называется порядком числа 10 по модулю Ь.

Докажите, что положительная правильная несократимая дробь 7-, где (10,/)) =1,.

о

представима в виде чисто периодической десятичной дроби (т.е. период начинается сразу после запятой) с количеством цифр в периоде, равным порядку числа 10 по модулю /) (доказательство можно найти в [21). Рассмотрите случай, когда b = 2^w5^/'/>₁, где (10./;,) = 1.