Z-преобразования. 
Электротехника (теория электрических цепей)

Представление ДС с помощью преобразований Фурье позволяет выявить их частотные свойства. Однако в теории дискретных цепей доминирующую роль играет 2-преобразование, которое (как и преобразование Лапласа) применимо к более широкому классу сигналов, однако отличается простотой и удобством проведения анализа. С помощью 2-преобразования от разностного уравнения, описывающего дискретную цепь, можно перейти к алгебраическому уравнению и определить передаточную функцию цепи, а по расположению нулей и полюсов передаточной функции в 2-плоскости можно получить полную информацию о ее свойствах. Кроме того, и это, пожалуй, самое главное, по передаточной функции в 2-плоскости можно найти АЧХ и ФЧХ цепи, что позволяет сформулировать технические требования к дискретным цепям в частотной области и использовать богатый опыт и накопленный материал при проектировании аналоговых цепей, в том числе активных /?С-фильтров.

В теории дискретных цепей 2-преобразование играет такую же роль, как и интегральные преобразования Фурье и Лапласа в теории аналоговых (непрерывных) цепей.

Прямое г-преобразование. Покажем естественный способ получения 2-преобразования и его взаимосвязь с преобразованием Лапласа. Для этого рассмотрим непрерывный сигнал x (t), который равен нулю при t < 0. Дискретные выборки х (кТ_л) этого сигнала можно представить в следующем виде:

где 5(? — kT_;{) — периодическая последовательность 8-импульсов.

Используя теорему запаздывания для преобразования Лапласа, получим изображение последовательности отсчетов.

Наличие в (7.3.2) трансцендентной функции ехр (-^5Г_ч) существенно затрудняет анализ дискретной цепи, поскольку не позволяет получить передаточную функцию дискретной цепи в виде рациональной дроби, как это имело место в аналоговых цепях. Сделав в (7.3.2) замену.

получим прямое одностороннее z-преобразование

Для бесконечных числовых последовательностей {ХД ряд (7.3.4) должен быть сходящимся. Следует отметить, что 2-преобразование, как и преобразование Лапласа, может быть как односторонним (7.3.4), для которого последовательность х (п) = 0 при п < 0, так и двусторонним, если х (п)^ 0 при п < 0. В этом случае пределы суммирования по п берутся отоо до +оо.

Свойства прямого 2-преобразования. Рассмотрим наиболее важные свойства.

Линейность. Если {ХД и {УД — числовые последовательности, а С_{ и С₂ — константы, то.

Z-преобразование смещенного сигнала. Если последовательность {ХД имеет z-преобразование X (z), то z-преобразование смещенной на т интервалов дискретизации Тд последовательности {УД = {X_k__m} имеет вид.

При m = 1 из (7.3.6) следует, что умножение Z-образа числовой последовательности на z^_1 равносильно ее задержке на один интервал дискретизации Г_д.

Z-преобразование свертки последовательностей. Если последовательности {Х, Д соответствует 2-преобразование X (z), а последовательности {УД — Y (z), то свертке последовательностей.

отвечает произведение их 2-преобразований

Обратное z-преобразование. С помощью обратного 2-преобразования осуществляется переход от X (z) к числовой последовательности {АД, т. е. определяется X_k = z~^][X (z)].

Пусть X (z) — аналитическая функция комплексной переменной 2. Раскроем ряд (7.3.4) и умножим обе его части на z^m~ * I.

Вычислим интегралы от обеих частей (7.3.9), взяв в качестве контура интегрирования произвольную замкнутую кривую, лежащую целиком в области аналитичности и охватывающую все полюсы функции X (z). Для аналитической функции в кольцевой области | z > R₀ существует предел.

(или производная), поэтому операция интегрирования правомерна. Воспользуемся фундаментальным положением, вытекающим из теоремы Коши:

Так как интегралы от всех слагаемых правой части (7.3.9) обратятся в нуль, за исключением слагаемого X_kz~^{> получим.

откуда следует формула обратного z-преобразования

Нахождение ДС, но его г-изображению. Анализ дискретной цени состоит в вычислении прямого 2-преобразования отклика цепи X (z) и поиске обратного 2-преобразования в виде совокупности отсчетов {АД. Для восстановления дискретной последовательности существуют формальные и неформальные подходы и методы. Формальный подход к обратному 2-преобразованию основывается на интегральной теореме Коши и представлен контурным интегралом (7.3.10), который вычисляется, но методу вычетов. Последовательность {X_k} определяется суммой вычетов Res (X_k) подынтегральной функции в полюсах, расположенных в области, охватываемой контуром. Если все полюсы z_u z₂, z_k функции X (z)z^k~^x простые, то.

причем в выражении X (z)z^k~^{ отсутствуют отрицательные степени.

На практике используются менее формализованные процедуры, к которым относятся табличный метод, метод простых дробей и метод разложения в степенные ряды.

Табличный метод состоит в использовании таблиц, составленных для многих известных последовательностей и функций, связанных 2-преобразованием. В качестве примера в табл. 7.3.1 приведены 2-преобразования для некоторых простейших последовательностей.

Таблица 73.1

Разложение на простые дроби. Этот метод основан на представлении исходного выражения X (z) в виде дробно-рациональной функции

где z_nm Ф 0, z_nn Ф О — нули и полюса функции X (z) соответственно.

В работе [49] для случая М > N приведена формула разложения рациональной функции от переменной г^-1 с одним полюсом кратности S в точке z_{n i} в сумму многочлена и простейших дробей.

Коэффициенты В, можно найти делением в столбик числителя на знаменатель. Степень получающегося остатка будет уже меньше степени знаменателя. После этого коэффициенты А_п и C_s можно вычислить по формулам.

Если существует не один, а несколько кратных полюсов, в формуле (7.3.12) для каждого кратного полюса появятся дополнительные члены, аналогичные третьей сумме. Если же кратные полюса у функции X (z) отсутствуют, третий член в (7.3.12) пропадает. Если в (7.3.11) степень знаменателя больше степени числителя (N > М), то в (7.3.12) отсутствует первый член.

Разложение в степенные ряды. Гладкие функции X (z) можно представить в виде ряда Тейлора.

Достоинство представления X (z) степенным рядом состоит в том, что его коэффициентами являются искомые отсчеты Х_к. Отметим, что исходная функция может быть задана как X (z~^{).

При наличии особых точек в виде полюсов для представления функций комплексной переменной можно использовать ряд Лорана, коэффициентами которого также служат отсчеты последовательности X_k:

Отметим, что разложение в ряд рациональных функций можно получить обычным делением в столбик.

Этот метод полезен при работе с последовательностями конечной длины, 2-преобразование которых задано в виде многочлена от г^-1.

Отображение г = exp(sT_;i). Если передаточную функцию дискретной цени представить в виде дробно-рациональной функции.

то по расположению нулей (г_{н /}) и полюсов (г_{п ;}) этой функции можно судить о свойствах дискретной цепи.

Связь между г-преобразоваиием и преобразованием Лапласа определяется известным соотношением z = ехр ($Г_д).

Для s = а + усо имеем.

Используя (7.3.14), рассмотрим особенности отображения комплексных чисел s = o +усо на комплексную плоскость 2 = Re (2) + jlm (z) (рис. 7.3.1). Величину 2 (7.3.14) можно рассматривать как вектор, который имеет длину г = ехр (аГ_д) и при изменении частоты со (фазового угла ср) вращается против часовой стрелки вокруг начала координат. Если при этом учесть, что z < 1 при, а < 0, z = 1 при, а = 0 и z> 1 при, а > 0, то:

• • линии на комплексной плоскости 5, параллельные мнимой оси усо (а = const), отображаются в окружности с радиусом z = ехр (аГд). Все точки оси у со, соответствующие важному частному случаю, а = 0, отображаются в окружность единичного радиуса (ехр (/соГ_ч)), так как z = 1. Точки левой полуплоскости (а 0) — в окружности с радиусом z > 1;
• • линии на комплексной плоскости s, параллельные вещественной оси, а (/со = const), отображаются в лучи, выходящие из начала координат (2 = 0) под постоянным углом ср=соГ_д. При изменении со от 0 до со_д фазовый угол измени-

Рис. 73.1. Отображение s-плоскости в z-плоскость ется от 0 до 2я и вектор z exp (/ср) совершает полный оборот. Поэтому все последовательные полосы плоскости s, ограниченные линиями со = &со_л и со = 2я+?со_д (k = 0, ±1, ±2, ±3, …), при отображении на плоскость z накладываются друг на друга;

• перемещение точки вдоль оси усо (при а = 0) в плоскости s соответствует перемещению точки по окружности в плоскости z. При этом точка j0 на z-плоскости соответствует точке z = +1 на вещественной оси z-плоскости, а точки ±/со_д/2 — точке z = -1 (см. рис. 7.3.1). Это означает, что точки отрезка (-усо_д/2^/со_д/2) s-плоскости проецируются в точки на окружности ел°^г z-плоскости. Так как функция z = е№^т периодическая, то последующие отрезки оси j (o на s-плоскости такой же длины будут вновь проецироваться на единичную окружность.

На рис. 7.3.1 показано отображение точек s_lf s₂, s₃, s₄ на плоскость z (соответственно точки z_t, z₂, z₃, z₄).

По расположению нулей и полюсов передаточной функции в z-плоскости можно получить представление о свойствах дискретной цепи и найти ее амплитудно-частотные и фазочастотные характеристики.

Началу координат плоскости s соответствует точка 2=1; ось, а соответствует положительной части оси Re (z). При изменении со отсо_д/2 до со_д/2 значение arg (z) = соГ_д изменяется -п до к радиан. Таким образом, каждая из последо;

Рис. 7.3.2. Соответствие формы отклика дискретной цепи на единичный дискретный сигнал расположению полюсов передаточной функции H (z).

вательно расположенных горизонтальных полос плоскости $, ограниченных линиямисо_д/2 + &со_д < ш < со_д/2 + &со_д (k=0, 1, 2,…) отображается на всю плоскость г, при этом их отображения накладываются друг на друга. Многие из этих свойств иллюстрируются на рис. 7.3.1.

На рис. 7.3.2 в качестве примера для дискретной цепи с передаточной функции Я (г), имеющей единственный полюс, приведены формы отклика на единичную дискретную функцию [15, 35]. Из рисунка очевидно, что важнейшей характеристикой полюса передаточной функции является его расположение относительно окружности единичного радиуса | z | = 1, при этом:

• • если полюса располагаются внутри круга единичного радиуса, отклик цепи затухает со временем, так как показатель экспоненты, а < 0. Следовательно, дискретная цепь стабильна (устойчива);
• • при расположении полюсов на границе круга (а=0) отклик представляет собой периодическую дискретную последовательность, т. е. цепь выполняет функции генератора;
• • если полюса располагаются вне круга (а>0), происходит нарастание значений отклика.

Положение нулей передаточной H (z) функции может быть произвольным. Отметим, что по расположению полюсов и нулей путем построения векторов на плоскости z может быть получена частотная характеристика дискретной цепи [51].