Оптимизация регулятора для многоканальных объектов

Задача управления многоканальным объектом

Особый класс объектов представляют многоканальные объекты, в которых имеется несколько входных и столько же выходных величин, причем есть влияние каждой входной величины на каждую выходную величину, что называется перекрестным влиянием (или перекрестными связями). Требуется проектирование регулятора, обеспечивающего автономное управление каждой выходной величиной с помощью заранее выбранных входных величин.

Пример 12.1. В химическом реакторе идет реакция, скорость которой и температура зависят от количества подаваемых в него продуктов. Требуется отдельно управлять температурой и объемом продукта в реакторе с помощью скоростей подачи двух реактивов.

Если объект линеен, как правило, его математическую модель в таком случае можно задать матричной передаточной функцией в операторной области, т. е. в виде отношений преобразований Лапласа от выходных сигналов к порождающим их входным сигналам.

Простейший подход к решению этой задачи состоит в выборе соответствия между входными воздействий и выходными величинами на основе принципа наиболее сильного влияния, если это возможно.

Пример 12.2. Например, если в полупроводниковом лазере требуется стабилизировать частоту и мощность излучения с учетом того, что на каждый из таких параметров влияют температура этого лазера и ток накачки, то возможны два варианта организации управления: а) изменения мощности пытаться регулировать изменениями тока накачки, а изменения частоты излучения — изменением температуры лазера; б) мощность регулировать за счет изменения температуры, а частоту — за счет изменения тока накачки. Во втором случае поставленную задачу будет решать значительно сложнее, поскольку ток гораздо сильнее влияет на мощность излучения, чем температура.

Данное утверждение далеко не очевидно, поэтому требует разъяснения о том, как можно сравнивать четыре величины с различным наименованием. Действительно, приращение мощности от тока измеряется в ваттах на ампер, приращение мощности от температуры — в ваттах на градус Цельсия, приращение частоты от тока — в герцах на ампер, а приращение частоты от температуры — в герцах на градус Цельсия.

Представим матрицу статических коэффициентов в следующем виде:

Умножим левый столбец на 1 А, а правый — на 1 °C. После этого разделим верхнюю строку на 1 Вт, а нижнюю — на 1 Гц. Получим безразмерные величины. Среди этих величин найдем наибольшую. Если она не находится на главной диагонали, изменим нумерацию второго индекса, а именно: единицу заменим двойкой, а двойку единицей, т. е. поменяем местами столбцы. В итоге как минимум самая большая величина будет находиться в главной диагонали. Это означает, что, по меньшей мере, одно из двух входных воздействий будет вызывать в прямом канале отклик более существенный, чем в побочном канале. Если при этом второй элемент в главной диагонали будет больше, чем другие два элемента, задача синтеза многоканального регулятора будет более простой, чем в случае, если бы это условие не было выполнено.

При выполнении этого условия можно предпринять попытку обеспечения управления каждой величиной в скалярном (одноканальном) контуре управления. Например, можно сделать две скалярные обратные связи с ПИД-регулятором в прямом тракте. В этом случае матричный регулятор может быть представлен диагональной матрицей, в которой ненулевые члены расположены лишь в главной диагонали. Такой подход может быть эффективным, если в модели объекта наиболее сильное влияние имеет место между выбранными управляющими сигналами и увязанными с ними выходными величинами. Иными словами, во всем диапазоне рабочих частот матричная передаточная функция характеризуется тем, что в главной диагонали стоят члены, величина которых существенно выше, чем величина членов в неглавной диагонали.

Может оказаться, что указанный подход неэффективен, поскольку перекрестное влияние каналов не столь незначительное, чтобы им можно было пренебречь при синтезе регулятора, т. е. чтобы оно достаточно эффективно подавлялось действием основных (диагональных) контуров управления. В этом случае необходимо применение метода проектирования матричного регулятора.

В случае когда объект линеен, можно использовать один из существующих аналитических методов синтеза регулятора для управления таким объектом. Например, если элементы передаточной функции регулятора — апериодические звенья, то в качестве регулятора можно предложить матрицу, являющуюся обращением матрицы регулятора, помноженную на коэффициент и интегратор, т. е. множитель K/s. В этом случае результатом умножения матрицы регулятора на матрицу объекта будет диагональная матрица с интеграторами в главной диагонали. Такая система будет успешно решать задачу автономного управления выходными величинами.

Если элементы объекта имеют более высокий порядок, можно попытаться аппроксимировать их элементами первого порядка и применить этот метод, но результат может не быть столь успешным. Существуют и другие методы аналитического расчета многоканальных регуляторов. Однако если в объекте содержатся элементы запаздывания и (или) нелинейные звенья, то аналитических методов для расчета регуляторов не существует.

Численные методы состоят в моделировании системы, состоящей из объекта и регулятора, в анализе результатов моделирования при различных численных параметрах регулятора и выборе таких параметров, при которых задача решается наиболее успешно. Численные методы можно разделить на методы эмпирического подбора, методы оптимизации и пр.

Эмпирический подбор реализует некоторые простейшие правила или алгоритмы отыскания таких параметров регулятора, которые обеспечивают удовлетворительное решение задачи, даже если этот результат и не является оптимальным.

Методы оптимизации требуют формулировки критерия качества системы в численном виде, например в виде стоимостной функции. Далее используются процедуры для отыскания таких параметров регулятора, которые обеспечивают наименьшее значение этой стоимостной функции.

К прочим методам можно, например, отнести метод Монте-Карло, который состоит в серии экспериментов со случайным заданием параметров регулятора с выбором того результата, который в наибольшей степени отвечает цели управления.

Также к прочим методам можно отнести все иные методы, основанные на опыте или интуиции разработчика либо на здравом смысле.

Пример 12.3. Можно рассмотреть задачу управления уровнем воды в бассейне и температурой воды при условии втекания в него холодной и горячей воды и неуправляемой скорости вытекания воды и неуправляемом охлаждении. При этом очевидно, что вклад увеличения скорости втекания горячей и холодной воды будет соизмеримо сказываться как на изменении температуры, так и на изменении уровня воды. Возникает конкуренция между двумя контурами управления. Однако здравый смысл подсказывает, что для управления уровнем можно вместо выбора одного из двух воздействий: приращение скорости потока горячей воды или приращение скорости потока холодной воды — выбрать приращение суммы этих скоростей, а для управления температурой — приращение разности этих скоростей. Такой скорректированный объект будет управляться более эффективно.

Действительно, пусть, например, все передаточные функции соизмеримы. Тогда приращение уровня У₁ определяется соотношением Yj = = W_nU₁ + W₁₂U₂, приращение температуры Y₂ определяется соотношением Y₂ = W₂₁U₁ — W₂₂U₂. Обозначим выходные сигналы регулятора соответственно R_x и R₂. Зададим следующее соотношение: U_x = R_x + + R₂, U₂ = R_x— R₂. Отсюда получаем:

или.

Например, в случае равенства всех передаточных функций получаем полное диагональное развязывание:

Рассмотренный пример легко понимается на интуитивном уровне, но примененный алгоритм действий трудно формализовать, поэтому в дальнейшем мы будем полагать, что все возможные процедуры упрощения задачи управления уже применены, но задача все же не упрощается настолько, чтобы можно было пренебречь непрямым влиянием контуров, т. е. она остается многоканальной задачей синтеза регулятора.