Проверка гипотезы о равенстве математического ожидания некоторой константе (одна выборка из нормального распределения)

В данном случае на уровне значимости ос, а > 0, проверяется гипотеза Н₀: ц = ц₀ при альтернативе Нр. ц * ц₀.

Пусть критерий Z = x, а критическая область К: х>х_кр, или z > z_x__a, где z_x__a — квантиль уровня 1 — а стандартного нормального распределения. При известной дисперсии значение критерия z можно вычислить, используя выражения , где.

. По заданному уровню значимости а, используя таблицу функции Лапласа, можно найти квантиль z₁__a:

(см. подпараграф 7.2.1).

При z > z_x__a гипотеза Н₀ отклоняется, т. е. делается вывод, что центр распределения существенно отличается от ц₀. В противном случае гипотеза принимается.

Проверка гипотезы о равенстве двух центров распределения нормальных выборок. Парный критерий Стьюдента.

Данная задача возникает при выборочном контроле качества изделий, изготовленных на разных установках или при разных технологических режимах, при смешивании отдельных компонентов растворов и т. п. Имеются две независимые выборки объемами П] для случайной величины X и п₂ — для Y. Нулевая гипотеза Н₀: ц_у = ц_у; альтернатива Нр. ц_А. — ц.,| > 0.

Малые различия между выборочными средними х и у не означают, что ц_х и ц_у существенно различны. Разница между х и у может быть вызвана в большей степени погрешностью выборочного исследования и в меньшей степени разницей между ц_х и Цу. Если ц_А = 80 и с_х = 5, р_у = 82 и с_у = 5, то + Зо_д. = 80 + 15 =.

= 95 — наибольшее значение генеральной совокупности параметрах, РуЗОу = 82 — 15 = 67 — наименьшее значение генеральной совокупности параметра У. Графики обоих распределений, подобные изображенным на рис. 7.11, в значительной степени пересекаются друг с другом.

Для проверки гипотезы Н₀ вычисляется разностный тест.

где S² и S² — несмещенные оценки дисперсий выборок для X и У. Критическая область t > t₁__ot, tj__a — квантиль уровня 1 — a t-распределения с числом степеней свободы п₁ + п₂- 2. Если t> t₁__n, то с надежностью 1 — а можно считать расхождение средних существенным.