Изучение действительных чисел в старшей школе

Изучение темы «Действительные числа» в классах с углубленным изучением математики рекомендуется вести в логике конкретного учебника. В остальных случаях можно использовать схему изложения данного вопроса, приведенную ниже. Она явно избыточна, часть вопросов можно опустить, либо рассмотреть обзорно (сообщения учащихся, краткий рассказ учителя), либо рекомендовать для самостоятельного изучения с последующим представлением докладов или рефератов.

Нам представляется целесообразным вести разговор о действительных числах либо при расширении понятия степени перед изучением показательной функции, поставив перед учениками вопрос, как вычислить, например, к² или е ⁷¹, либо в ходе итогового повторения курса алгебры и начал анализа.

Разговор предваряется беседой учителя, в которой раскрывается процесс расширения понятия числа от натуральных до гиперкомплексных чисел на практике и в математике как науке. Важно подчеркнуть, что «историческая» и «научная» последовательности появления новых числовых множеств различны. Следует показать, что в каждом числовом множестве задаются действия с определенными свойствами, вводится отношение сравнения со своими свойствами, раскрываются причины введения новых числовых множеств, возникающие при этом приобретения и утраты. Демонстрация «одинаковости» устройства числовых множеств создаст основу для разговора об алгебраических структурах в конце изучения темы.

В качестве дополнительного материала здесь могут быть использованы сообщения учащихся о трех знаменитых задачах древности (об удвоении куба, трисекции угла, квадратуре круга).

Далее рассматривается вопрос о представлении натуральных, целых, рациональных чисел конечными или бесконечными периодическими десятичными дробями (например, -), формулируется о.

правило представления периодических дробей обыкновенными (текст правила и упражнения могут быть заимствованы из учебника Н. Я. Виленкина).

После этого может быть введено определение действительного числа как бесконечной десятичной дроби, рассмотрен вопрос о приближении по недостатку и по избытку, сформулировано правило сравнения действительных чисел.

Введение

действий на множестве действительных чисел целесообразно показать на конкретном примере для сложения, поставив задачу определения четырех знаков суммы чисел х= 1,23 001… и у = = 0,78 044… Рассматривается последовательность десятичных приближений х и у_у и ученики видят, что при х₅ = 1,23 001, у₅ = 0,78 044, х'₅ = 1,23 002, у'₅ = 6,78 045 получаем 2,1 045 < х + у < 2,1 047, нужные десятичные знаки найдены. Далее делается вывод, что существует единственное действительное число, являющееся суммой двух данных (две последовательности приближений сходятся к единственному числу). Затем делается вывод, что другие действия вводятся аналогично.

В качестве дополнительного материала учитель может познакомить школьников с построением числовых систем и с алгебраическими структурами на примерах числовых множеств (группами, кольцами, полями).