Анализ динамики линейных систем автоматического регулирования

В результате изучения данной главы студент должен:

знать

• • основные математические формулировки устойчивости движения САР;
• • алгебраические и частотные критерии устойчивости, устойчивость в «малом» и в «большом»;
• • критерии для оценки качества регулирования;

уметь

• • находить корни характеристического уравнения передаточной функции в интегрированном пакете MathCad;
• • анализировать динамические процессы в САР с помощью алгебраических критериев устойчивости Гурвица и Рауса;
• • анализировать динамические процессы в САР с помощью частотных критериев устойчивости Найквиста и Михайлова;

владеть

• • методами изображения процессов регулирования на фазовой плоскости;
• • основными понятиями о моделировании динамических процессов в САР с помощью передаточных функций Transfer Fen пакета MATLAB;
• • методами расчета переходных процессов в САР третьего порядка.

Анализ переходных процессов в САР. Устойчивость САР

В процессе работы система автоматического регулирования должна поддерживать заданное значение регулируемой величины с требуемой точностью. В установившемся режиме при неизменных во времени внешних воздействиях в системе существует равновесие и значение регулируемой величины также не изменяется. В системе устанавливается определенная ошибка, соответствующая величине внешних воздействий. Если возмущение представляет собой переменную величину, то ошибка при регулировании также является величиной переменной. При возникновении возмущающих или управляющих воздействий состояние равновесия в САР нарушается, и в ней возникает переходный процесс. В течение этого переходного процесса система переходит от одного установившегося состояния к другому. В переходном процессе регулируемая величина обычно изменяется не совсем так, как изменилось возмущение, а по некоторому другому закону, зависящему от свойств всей системы регулирования.

В зависимости от характера изменения регулируемой величины переходный процесс носит различные названия. Если регулируемая величина изменяется плавно и не переходит через новое установившееся значение, а подходит к нему всегда с одной стороны, то такой переходный процесс называется апериодическим (см. рис. 2.26, а). Если же регулируемая величина приближается к своему новому установившемуся значению по колебательному закону, становясь то больше, то меньше установившегося значения, то такой переходный процесс называется затухающим колебательным (см. рис. 2.26, б). Наибольший выброс регулируемой величины в этом случае называют перерегулированием (см. рис. 2.26, б). При анализе САР важно не только знать установившееся значение ошибки регулирования, но и оценить характер и время протекания переходного процесса. Тем более, что отдельные характеры переходного процесса являются неприемлемыми для работы САР.

Рассматривая переходные процессы, отметим следующее. Если по окончании переходного процесса выходная координата системы регулирования приходит в первоначальное или другое равновесное состояние, то такая система устойчива. Если же выходная координата при тех же условиях удаляется от равновесного значения или начинает совершать колебания со все возрастающей амплитудой, то такая система неустойчива. Обеспечение устойчивости — первое и обязательное требование к системе автоматического регулирования [13, 14].

Установившееся значение ошибки регулирования и характер переходного процесса тесно связаны друг с другом. Действительно, для уменьшения статической ошибки регулирования следует увеличить коэффициент усиления замкнутой системы. Однако при больших значениях коэффициента усиления в системе возникают колебания, и система может потерять устойчивость. В неустойчивой системе ничтожно малое возмущение может вызвать сколь угодно большую ошибку. Поэтому проверка устойчивости является одним из первых этапов расчета САР. Строгие и законченные математические формулировки устойчивости движения впервые были даны русским ученым А. М. Ляпуновым. Они основывались на следующих положениях.

В линейной САР переходный процесс описывается линейным дифференциальным уравнением я-го порядка, которое имеет вид.

где а₀, a_v…, а_п — постоянные коэффициенты, характеризующие параметры системы регулирования; y (t) — выходная величина CAP; 6₀, b_v…, b_rn — постоянные коэффициенты, определяющие параметры входного воздействия; x (t) — входное воздействие.

В уравнении (3.1) т <�п.

Решение дифференциального уравнения (3.1), описывающего поведение системы в переходном режиме, классическим методом записывается в виде суммы установившейся у_уст и свободной у_св составляющих:

Установившаяся составляющая у_уст определяется свойствами системы и видом внешних возмущающих воздействий x (t)_y находящихся в правой части уравнения (3.1). Свободная составляющая у_св определяется свойствами самой системы и характеризует ее поведение, когда внешние воздействия, стоящие в правой части уравнения (3.1), равны нулю:

После снятия внешнего воздействия решение однородного дифференциального уравнения (3.3) при неравных корнях записывается в виде суммы экспонент:

Здесь А. — постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий; р_х — корни характеристического уравнения

которое получается путем алгебраизации дифференциального уравнения (3.3). Как следует из формул (3.4) и (3.5), характер изменения свободной составляющей определяется видом корней характеристического уравнения (3.5).

Если корни характеристического уравнения — действительные отрицательные числа, то с течением времени все слагаемые в уравнении (3.4) будут стремиться к нулю и процесс будет носить затухающий характер (рис. 3.1, а). Система будет устойчива. Если же корни характеристического уравнения действительные положительные, то процесс носит расходящийся характер, при котором свободные составляющие будут неограниченно возрастать (рис. 3.1, б). Система будет неустойчива.

При сопряженных комплексных корнях р_х 2 = а±ур процесс будет носить характер затухающих колебаний (рис. 3.1, в), если действительная часть, а комплексных корней отрицательная, и характер расходящихся колебаний, если действительная часть, а больше нуля (рис. 3.1, г). При, а = 0 в системе возникают незатухающие колебания (рис. 3.1, д). Система в этом случае находится на колебательной границе устойчивости. Отметим, что системы с обратной связью обычно склонны к неустойчивой работе.

Таким образом, устойчивость системы определяется характером изменения свободных составляющих, которые появляются в переходном режиме и определяются видом корней характеристического уравнения САР. На основании сказанного можно сформулировать условие устойчивости следующим образом: линейная САР будет устойчивой, если действительные части всех корней ее характеристического уравнения отрицательны. Это определение является одним из так называемых корневых критериев устойчивости.

Замечание 3.1.

Чисто вещественный корень полагается комплексным с нулевой мнимой частью.

Рис. 3.1. Графики изменения свободных составляющих САР:

а — в устойчивой системе; 6 — монотонные в неустойчивой системе; в — колебательные в устойчивой системе; г — колебательные в неустойчивой системе;

д — граничные Каждому корню характеристического уравнения на комплексной плоскости соответствует строго определенная точка. Следовательно, для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы точки на комплексной плоскости, соответствующие корням характеристического уравнения системы, располагались слева от мнимой оси. Таким образом, чтобы установить устойчивость системы, необходимо решить характеристическое уравнение, т. е. найти его корни и по ним сделать вывод об устойчивости САР.

Условия устойчивости линейных систем в соответствии с первой теоремой А. М. Ляпунова формулируются так: система устойчива, если все корни характеристического уравнения системы левые, т. е. имеют отрицательную вещественную часть, т. е. находятся на комплексной плоскости слева от мнимой оси. Система неустойчива, если хотя бы один корень характеристического уравнения правый (с положительной вещественной частью). Система находится на границе устойчивости, если хотя бы у одного корня характеристического уравнения вещественная часть равна нулю. Если корень нулевой, то система находится на границе апериодической устойчивости, а при паре мнимых корней — на границе колебательной устойчивости.

Рассмотрим, как получается характеристическое уравнение для системы п дифференциальных уравнений САР. В гл. 1 было показано, что САР, представленная на рис. 1.12, описывается системой двух дифференциальных уравнений (1.22) и (1.29). Запишем их снова.

Производная отклонения h но времени выражается дифференциальным уравнением.

где S — площадь резервуара, дм².

Производная подачи жидкости по времени выражается уравнением.

Продифференцируем уравнение (3.7):

и подставим в полученное уравнение (3.8) выражение (3.6) для производной отклонения h по времени:

Здесь Т = S / k — постоянная времени, мин. Представив уравнение (3.9) в канонической форме.

получим дифференциальное уравнение второго порядка.

Аналогичным образом система любых п линейных дифференциальных уравнений первого порядка путем дифференцирования преобразуется в одно дифференциальное уравнение п-го порядка вида (3.1). В установившемся режиме (когда производная подачи равна нулю), как следует из формулы (3.10), подача равна расходу, т. е. Q_n = 0 .

Характеристическое уравнение дифференциального уравнения (3.10) имеет вид.

пли Корни уравнения (3.11) и (3.12) сопряженные комплексные:

Это значит, что процесс регулирования носит колебательный характер. Для примера, показанного на рис. 1.13, когда Т = 5 мин, корни характеристического уравнения

т.е. корни получаются сопряженные комплексные.

Если действительная часть сопряженных комплексных корней, а = 0, а мнимая часть со = 0,45, то период незатухающих колебаний.

что хорошо совпадает с результатами моделирования, представленными на рис. 1.13. Действительно, за 70 мин (100 — 30) совершается 5 колебаний. Следовательно, период одного колебания составляет 70:5 = 14 мин.

Характеристическое уравнение также можно получить, если приравнять нулю знаменатель передаточной функции замкнутой системы автоматического регулирования. Например, для САР, показанной на рис. 1.12, структурная схема, составленная в соответствии с уравнениями (3.6) и (3.7), записанными в операторной форме, приведена на рис. 3.2. На рис. 3.2, а в качестве выходной величины принята подача (), а на рис. 3.2, б — отклонение h. В схеме на рис. 3.2, а принята единичная обратная связь. Прямая передаточная функция САР в этом случае имеет вид.

Передаточная функция замкнутой системы с единичной обратной связью.

Знаменатель передаточной функции (3.15) замкнутой САР совпадает с левой частью характеристического уравнения (3.11).

Рис. 3.2. Структурные схемы САР, показанной на рис. 1.12.

Такое же выражение для знаменателя получим, если за выходную величину принять отклонение h. В этом случае передаточная функция прямой связи системы.

а передаточная функция обратной связи причем

Передаточная функция замкнутой системы в этом случае имеет вид.

Выражение, стоящее в скобках в знаменателе (3.19), совпадает с левой частью характеристического уравнения (3.11).

В общем виде передаточная функция замкнутой системы выражается так:

где ai и bj — коэффициенты, определяемые по коэффициентам передаточных функций отдельных звеньев. Знаменатель передаточной функции совпадает с левой частью характеристического уравнения САР (3.5).

Покажем на более сложном примере преимущества анализа процессов в САР с помощью передаточных функций. Сначала проведем анализ с помощью составления дифференциального уравнения. Исследуем схему САР, структурная схема которой представлена на рис. 3.3.

Рис. 3.3. Структурная схема САР с тремя апериодическими звеньями.

Схема содержит три апериодических звена. Разомкнем обратную связь в месте, показанном волнистой линией и запишем систему из трех дифференциальных уравнений для трех апериодических звеньев системы:

В замкнутой системе

Подставив уравнение (3.33) в уравнение (3.32), получим.

Характеристическое уравнение дифференциального уравнения (3.35) имеет вид

Анализ процессов в САР упростится, если уравнения (3.33) и (3.20— 3.22) записать в операторной форме:

Запишем эту систему уравнений в матричной форме:

Решение для выходной величины У (р) в операторной форме найдем методом Крамера:

где, А — главный определитель системы,.

AY (p) — определитель, который получается из главного определителя после замены четвертого столбца столбцом свободных членов,.

Еще проще провести анализ, если для структурной схемы рис. 3.3 с помощью передаточных функций отдельных звеньев составить передаточную функцию разомкнутой системы:

Замкнув систему, получим передаточную функцию для замкнутой системы с единичной связью:

Знаменатель выражения (3.38) полностью совпадает с левой частью характеристического уравнения (3.36).

Приведенный пример показывает, что применение передаточных функций позволяет гораздо быстрее и проще получить характеристическое уравнение для анализа переходного процесса в САР, чем решение дифференциальных уравнений. Однако и в этом случае при ручном решении нахождение корней характеристического уравнения выше третьего порядка представляет определенные трудности. Поэтому для оценки устойчивости САР были найдены специальные признаки, которые позволяют, не решая характеристического уравнения, судить об устойчивости САР. Эти признаки носят название критериев устойчивости. Их можно разделить на две группы: алгебраические и частотные.

Большинство критериев названо по фамилиям ученых, которые их разработали. К первой группе относятся критерии Вышнсградского, Гурвица, Рауса и Неймарка; ко второй группе — критерии Найквиста и Михайлова [25]. Область применения каждого критерия зависит от исходных характеристик и данных, которыми располагает исследователь, и от порядка уравнения САР. Если известны дифференциальные уравнения системы, то чаще применяют алгебраические критерии устойчивости.