Решение задан. 
Теория вероятностей

О Пример 2.9. В среднем 20% пакетов акций на аукционах продаются по первоначально заявленной цене. Найти вероятность того, что из 9 пакетов акций в результате торгов по первоначально заявленной цене: 1) не будут проданы 5 пакетов; 2) будет продано: а) менее 2 пакетов; б) не более 2 пакетов; в) хотя бы 2 пакета; г) наивероятнейшее число пакетов.

Решение. 1) Вероятность того, что пакет акций не будет продан по первоначально заявленной цене, р = 1 — 0,2 = 0,8.

По формуле Бернулли (2.1).

2, а) По условию р = 0,2.

2, б)

2, в)

Указанную вероятность можно найти проще, если перейти к противоположному событию, т. е.

2, г) Наивероятнейшее число проданных акций по первоначально заявленной цене определится из условия (2.4), т. е.

т. е. наивероятнейших чисел два: т_{) = 1 и т'₀= 2. Поэтому вероятность.

О Пример 2.10. Завод отправил на базу 10 000 стандартных изделий. Среднее число изделий, повреждаемых при транспортировке, составляет 0,02%. Найти вероятность того, что из 10 000 изделий: 1) будет повреждено: а) 3; б) по крайней мере 3; 2) не будет повреждено: а) 9997; б) хотя бы 9997.

Решение. 1, а) Вероятность того, что изделие будет повреждено при транспортировке, равна р = 0,0002. Так как р — мала, п = 10 000 — велико и X = пр = 10 000 • 0,0002 = 2 < 10, следует применить формулу Пуассона (2.6):

Эго значение проще найти, используя табл. 111 приложений:

1, б) Вероятность Р_10 000(т>3) может быть вычислена как сумма большого количества слагаемых:

Но, разумеется, проще ее найти, перейдя к противоположному событию:

Следует отметить, что для вычисления вероятности Р_10 000(т>3) = ⁼ ^10 000 (з < т < 10 000) нельзя применить интегральную формулу Муавра — Лапласа, так как не выполнено условие ее применимости, ибо пру ~ 2 < 20.

2, а) В данном случае р = 1 — 0,0002 = 0,9998 и надо найти Р₉₉9_{7 10} ооо> для непосредственного вычисления которой нельзя применить ни формулу Пуассона (р велика), ни локальную формулу Муавра — Лапласа (пру~2<20). Однако событие «не будет повреждено 9997 из 10 000» равносильно событию «будет повреждено 3 из 10 000», вероятность которого, равная 0,1804, получена в п. 1, а).

• 2, б) Событие «не будет повреждено хотя бы 9997 из 10 000» равносильно событию «будет повреждено не более 3 из 10 000», для которого р = 0,0002 и
• ?
• 0 Пример 2.11. По результатам проверок налоговыми инспекциями установлено, что в среднем каждое второе малое предприятие региона имеет нарушение финансовой дисциплины. Найти вероятность того, что из 1000 зарегистрированных в регионе малых предприятий имеют нарушения финансовой дисциплины: а) 480 предприятий; б) наивероятнейшее число предприятий; в) не менее 480; г) от 480 до 520.

Решение, а) По условию р = 0,5. Так п = 1000 достаточно велико (условие пру = 10 000 • 0,5(1 -0,5) = 250 > 20 выполнено), то применяем локальную формулу Муавра — Лапласа. Вначале по формуле (2.9) определим.

затем по формуле (2.7)^[1]

б) По формуле (2.6) наивероятнейшее число 1000 • 0,5 — 0,5 < т₀ < < 1000 • 0,5 + 0,5, т. е. 499,5 < т₀ < 500,5 и целое т₀ = 500. Теперь по формулам (2.9) и (2.7) определим.

в) Необходимо найти.

Piooo (w-480) = Piooo (480<7h<1000). Применяем интегральную формулу Муавра—Лапласа (2.10), предварительно найдя по формулам (2.12).

Теперь

г) Вероятность Р₁₀оо (480 < т₀ < 520) можно было найти по той же интегральной формуле Муавра — Лапласа (2.10). Но проще это сделать, используя следствие (2.13), заметив, что границы интервала 480 и 520 симметричны относительно значения пр = 1000 • 0,5 = 500:

. ?

t> Пример 2.12. В страховой компании 10 тыс. клиентов. Страховой взнос каждого клиента составляет 500 руб. При наступлении страхового случая, вероятность которого, по имеющимся данным и оценкам экспертов, можно считать равной р = 0,005, страховая компания обязана выплатить клиенту страховую сумму размером 50 тыс. руб. На какую прибыль может рассчитывать страховая компания с надежностью 0,95?

Решение. Размер прибыли компании составляет разность между суммарным взносом всех клиентов и суммарной страховой суммой, выплаченной п₀ клиентам при наступлении страхового случая, т. е.

Для определения п₀ применим интегральную формулу Муавра — Лапласа (требование npq = 10 000 • 0,005 • 0,995 = 49,75 > 20 выполнено).

По условию задачи.

где т — число клиентов, которым будет выплачена страховая сумма;

откуда

Из соотношения (2.17).

По табл. II приложений при х₂ = 1,645.

Теперь т. е. с надежностью 0,95 ожидаемая прибыль составит 1,92 млн руб. ?

• [1] При вычислении значений /(1,265) и Ф (1,265) используем линейную интерполяцию (см. табл. I и II приложений):