Р-адическая теория вероятностей

Развитие исарх и медовой (особенно, р-адической) математической физики [108], [107], [41], [55]—[63], [67| [69|, [1] повлекло за собой создание некоторых новых математических структур над неархимедовыми нолями. В частности, теория вероятностей с р-адическизначными вероятностями развивалась в работах [56], [60], [64], [65], [72], [73]. Эта вероятностная теория появилась в связи с моделью квантовой механики с радичсскизначиыми волновыми функциями [57]. Основная задача этого вероятностного формализма состояла в том, чтобы представить вероятностную интерпретацию для р-адическизначных волновых функций.

Первой теорией с р-адическими вероятностями была частотная теория, в которой вероятности определялись как пределы относительных частот vдг = п/N в р-адической топологии¹. Эта частотная теория вероятностей была естественным продолжением частотной теории вероятностей Р. фон Мизеса [86]—[88]. Одной из наиболее интересных черт р-адической частотной теории вероятностей является возможность получать отрицательные (рациональные) вероятности в качестве пределов относительных частот. Значит, отрицательные вероятности, рассмотренные в главе 3, могут получаться на строгом математическом уровне как р-адические вероятности. Обычно р-адические частотные отрицательные.

'Следующий тривиальный факт является краеугольным камнем этой теории: относительные частоты принадлежат полю рациональных чисел Q: мы можем изучать их поведение не только в вещественной топологии на Q. но также в некоторых других топологиях на Q. а, в частности, в р-аднческих топологиях на Q.

вероятности (также как и вероятности большие 1) появляются в случае нарушения обычной статистической стабилизации, но Мизеру (относительно вещественной метрики). Фактически, в этой главе мы только рассмотрим р-адическое обобщение мизесовского принципа статистической стабилизации. Таким образом, мы только изучим р-адическое обобщение понятия^{-последовательности.} Следующий естественный шаг нахождение р-адического обобщения принципа случайности по Мизесу. Эта задача будет изучена в главе 5 (на основе р-адичсского обобщения теории статистических тестов Мартин-Лёфа).

Следующим шагом было создание р-адического вероятностного формализма на основе теории р-адически-значных вероятностных мер. Это было сделано, следуя фундаментальной работе А. Н. Колмогорова [74], в которой он предложил аксиоматику теории вероятностей основанную на теории меры. Колмогоров взял свойства частотной (мизесовской) вероятности (неотрицательность, нормированность единицей и аддитивность) за основу своей аксиоматики. Затем он добавил техническое условие <�таддитивности для использования теории интегрирования Лебега. В работах [56], [60] мы пытались следовать А. II. Колмогорову. Свойствами аддитивности обладает и р-адическая частотная вероятность, она нормирована единицей, а множеством возможных значений этой вероятности является всё поле р-адических чисел Q_p. Поэтому, естественно определить р-адическую вероятность как Qp-значную меру, нормированную единицей.

Однако, было довольно сложной задачей найти р-адический аналог условия а-аддитивности. Хорошо известен тот факт, что все гт-аддитивные Qp-значные меры, определённые на <�т-кольцах являются дискретными мерами [97], [104]. Поэтому создатели неархимедовой теории интегрирования (А. Мойна и Т. Спрингер [89]) нс пытались развивать абстрактную теорию меры, но они предложили формальную теорию интегрирования по Бурбаки, основанную на интегралах от непрерывных функций. Эта теория интегрирования использовалась для создания р-адической теории вероятностей в рамках теории меры [60]. Основным недостатком этой модели является сильная связь с топологической структурой вероятностного пространства. Это довольно похоже на старый вероятностный формализм Колмогорова [75]. Фреше [40] и Крамера [23], в котором топологическая структура вероятностного пространства играла важную роль.

Абстрактная теория неархимедовых мер развита А. ван Роем |104].

Основной идеей этого подхода является изучение мер, определённых на кольцах, которые в принципе не могут быть продолжены до мер на сг-кольцах. Это даёт возможность для построения недискретных р- адическизначных мер. С другой стороны, условие непрерывности для мер в работе |104| содержит в себе сг-аддитивность во всех естественных случаях^[1].

В этой главе мы развиваем р-адический вероятностный формализм, основанный на теории меры |104|. Ввиду вероятностных приложений, мы используем особый случай этой теории: меры, определенные на алгебрах (такие меры обладают некоторыми особыми свойствами). Приложения к теории вероятностей стимулируют также развитие общей теории неархимедовых мер, определённых на кольцах. Мы доказали формулу замены переменных для этих мер и воспользуемся этой формулой для развития формальной теории условных математических ожиданий для р-адически-значных случайных переменных (см. также [73]).

Использование р-адически-значных вероятностных мер даёт возможность работать на строгом математическом уровне со всеми знакопеременными ‘вероятностями' (например, с распределением Вигнера).

Так как ноля р-адических чисел являются неархимедовыми, то существуют бесконечно большие р-адические числа (в частности, бесконечно большие натуральные числа) в Q,. Поэтому р-адический анализ даёт возможность использовать актуальные бесконечности и рассматривать статистические ансамбли с бесконечным числом элементов. Вероятности относительно таких ансамблей определяются через стандартное отношение величин (использовавшееся в главе 1 для конечных ансамблей). Одной из основных черт таких ансамбль-вероятностей является появление отрицательных (рациональных) вероятностей (как и вероятностей больших единицы). В этом подходе источник таких ‘патологических' (с вещественной точки зрения) вероятностей предельно ясен. В частности, мы увидим, что отрицательные вероятности естественно истолковываются как бесконечно малые вероятности (дающие расщепление нулевой обычной вероятности). Мы также увидим, что вероятности большие единицы естественно интерпретируются как вероятности, которые незначительно отличаются от единицы. Другое интересное свойство р-адической ансамбль-вероятности состоит в том, что соответствующая вероятностпая мера нс определена корректно на алгебре множеств. Системой событий будет только полуалгебра множеств.

• [1] Поэтому <7-аддитивноеть не является проблемой. Проблема найти правильнуюобласть определения р-адических вероятностных мер.