Явная разностная схема

Исследование устойчивости

Исследуем устойчивость явной разностной схемы (9.3), аппроксимирующей дифференциальное уравнение (9.1), с помощью спектрального метода. Для этого отбрасываем член fjk т, наличие которого не оказывает влияния на устойчивость разностной схемы, и представляем решение в виде гармоники:

Далее упрощаем полученное выражение, деля левую и правую его ля Jа/ JBк /у т части на К е е е :

Используя зависимости (3.9), (3.10), получаем формулу

из которой выражаем X:

С учётом необходимого условия устойчивости разностных схем (3.8) имеем:

В полученном двойном неравенстве правое условие выполняется автоматически. Поэтому рассмотрим более подробно левое условие:

Задавая для sin²—, sin²—, sin² — максимально возможное значе- 2 2 2.

ние, равное 1, перейдём к более строгому условию, справедливому для любых а, р и у:

Выражение (9.5) является условием устойчивости явной разностной схемы (9.3), аппроксимирующей дифференциальное уравнение (9.1). Если интервалы между точками по осям х, у и г на разностной сетке задать равными.

Таблица 2.

Зависимость условия устойчивости явной разностной схемы, аппроксимирующей дифференциальное уравнение параболического типа, от размерности задачи.

выражение (9.5) примет более простой вид:

Сравнивая условия устойчивости явных разностных схем, аппроксимирующих одномерное, двумерное и трёхмерное дифференциальные уравнения параболического типа, можно получить условие устойчивости явной разностной схемы, аппроксимирующей N-мерное дифференциальное уравнение параболического типа (табл. 2).