Свойства идеального индуктивного элемента

Рассмотрим соотношения между током и напряжением, справедливые для 1-элемента, схема замещения которого и положительные направления электрических величин представлены на рис. 2.6.1, а. Предположим, что ?-элемент подключен к источнику синусоидального тока, т. е. / = 1^т (вЛ + ц/,). При изменяющемся токе потокосцепление самоиндукции будет также переменным:

где Ч^/_ш = Ы_т1 а = |/_;, следовательно, в стационарном режиме при синусоидальном изменении тока потокосцепление самоиндукции также изменяется, но синусоидальному закону, при этом синусоиды тока и потокосцепления совпадают по фазе. Изменяющееся потокосцепление наводит в катушке ЭДС самоиндукции.

или.

где Е_ы = (о Ц".

При синусоидальном изменении тока ЭДС самоиндукции также синусоидальна, причем ЭДС отстает по фазе от тока на четверть периода. Графики мгновенных значений ?, ц/и^ для случая = 0 изображены на рис. 2.6.1, б, там же пунктирными стрелками показаны истинные направления тока и ЭДС в течение периода. Следует обратить внимание на то, что положительные направления / и е₁ на схеме рис. 2.6.1, а выбраны совпадающими, а истинное направление (пунктирные стрелки на рис. 2.6.1, 6) в соответствии с принципом Ленца таково, что в любой момент времени ЭДС противодействует изменениям тока, т. е. направлена против тока, когда он нарастает по модулю, и совпадает с током по направлению, если ток убывает. Учитывая, что и = -е_и на рис. 2.6.1, б стрелки е₁ изменены на противоположные. Заметим, что для источников ЭДС положительные направления.

Рис. 2.6.1. Схема (я), графики мгновенных значений напряжения, тока, ЭДС и мощности (б), векторная диаграмма (в) цепи с ?-элементом.

стрелок ЭДС и напряжения выбраны противоположными и, соответственно, и — в. ЭДС самоиндукции определяет разность потенциалов v_x и v₂ на полюсах ?-элемента (см. рис. 2.6.1): = v₂ — e_L или — v₂ = -e_L.

Тогда для напряжения на индуктивном элементе и, положительное направление которого совпадает с током, можно записать и = v_{ — v₂ = -e_L — = Ldi/dt. Следовательно,.

График u (t) показан на рис. 2.6.1, б.

Из (2.6.3) следует, что при синусоидальном токе напряжение на индуктивном элементе также синусоидально: напряжение и ток изменяются с одинаковой частотой; напряжение опережает ток на четверть периода j_u = = ц/. + ти/2, угол сдвига фаз ф = vj/_м — j/. = п/2 > 0.

Амплитуды тока и напряжения связаны соотношением U_m = ?co/_m. Величину? со, имеющую размерность Ом, называют индуктивным сопротивлением и обозначают X_L. Тогда.

Выражение (2.6.4) называют законом Ома для амплитудных значений тока и напряжения индуктивного элемента. Очевидно, закон Ома можно записать и для действующих значений:

Перейдем к комплексной форме записи закона Ома. Если U_m = U_me^^u = = X_LI_me^j^^+K/2) и l_m = U_me^J то Z = Ц_т/1_т = X_Le^JK/2 = jX_L. Следовательно,.

Комплексное сопротивление индуктивного элемента является положительным мнимым числом, модуль которого равен Х_г Векторная диаграмма для индуктивного элемента построена на рис. 2.6.1, в — вектор напряжения на индуктивном элементе опережает вектор тока на угол тг/2. Векторы напряжения и ЭДС находятся в противофазе, вектор потокосцепления совпадает по фазе с током.

Перейдем к анализу энергетических процессов в цепи с ?-элементом. Мгновенная мощность индуктивного элемента.

График мгновенной мощности показан на рис. 2.6.1, б. В первую четверть периода знаки и и i совпадают и р > 0, т. е. индуктивный элемент потребляет электрическую энергию от источника. Потребляемая энергия запасается в магнитном поле, энергия W_M = Li²/2 которого в рассматриваемом интервале времени увеличивается, так как ток i нарастает. В момент времени t = T/A ток достигает максимального значения и энергия, запасенная в магнитном поле, также максимальна. Эта энергия пропорциональна площади, ограниченной на рис. 2.6.1, б первой положительной полуволной синусоиды мощности и осью абсцисс. Во вторую четверть периода знаки и и i противоположны и р < 0, т. е. индуктивный элемент является источником и высвобождает энергию, запасенную в магнитном ноле. Действительно, в этом промежутке времени ток уменьшается, но модулю и, следовательно, энергия, запасенная в магнитном иоле, также уменьшается. К моменту времени? = Т/2, когда ток примет нулевое значение, весь запас энергии будет возвращен источнику и = 0. Далее процесс повторяется при отрицательных значениях тока.

Активная мощность Р> характеризующая необратимые преобразования энергии и определяемая средним значением мгновенной мощности за период, для индуктивного элемента равна нулю:

Таким образом, в цепи с идеальным индуктивным элементом не совершается работа, а происходит только периодический обмен энергией между источником и магнитным нолем. Интенсивность обмена энергией принято характеризовать наибольшим значением скорости поступления энергии в магнитном поле, т. е. амплитудным значением мгновенной мощности, которое называют реактивной мощностью и обозначают (?р

Очевидно, что реактивная мощность имеет размерность Вт, однако единице реактивной мощности присвоено название «вольт-ампер реактивный», сокращенно — вар. Такое наименование позволяет говорить сокращенно «мощность, равная стольким-то вар», не добавляя слово «реактивная».

Упражнение 2.6.1.

На рис. 2.6.2 показан график мгновенной мощности для ?-элемента. Какой знак имеет мгновенное значение тока / в момент времени ?,? Варианты ответа:

• 1) мгновенное значение тока имеет знак минус;
• 2) мгновенное значение тока имеет знак плюс;
• 3) данных для ответа недостаточно.

Рис. 2.6.2. График мгновенной мощности для ?-элемента (к упражнению 2.6.1)