Спрос на деньги и облигации

Система домохозяйств распределяет фиксированный доход в молодости (Y = М + В) между деньгами (М) и облигациями (В). Деньги можно использовать в каждом периоде, они не дают дохода. Облигации обеспечивают номинальную доходность (г), но их можно использовать только в старости. Обозначим через Р_{ и Р₂ уровни цен, С_х и С₂ — потребление в молодости и старости, М / Y — спрос на деньги, или доля денег в доходе.

Имеются домохозяйства двух типов. Первые «живут настоящим», их доля равна они не покупают облигации и тратят все деньги в молодости, их потребление есть функция объема денег:

Если бы они ставили задачу максимизации полезности независимо от домохозяйств второго типа, то их потребление составило бы Y/ Р_х.

Домохозяйства второго типа «живут будущим», их доля равна (1 — q), они потребляют только в старости, их потребление равно реальной стоимости денег и облигаций с процентами и также является функцией объема денег:

Если бы они максимизировали полезность независимо от домохозяйств первого типа, то их потребление было бы равно (У — М)( 1 + /') / Р₂.

Равновесие системы домохозяйств — средневзвешенная величина полезности домохозяйств разного типа максимальна:

Поскольку объемы потребления домохозяйств разного типа зависят от объема денег, целевая функция общества является функцией одной переменной — объема денег:

Приравняем нулю производную (3.34) по М, тогда с учетом равенства Р₂ / Р = + к получим условие равновесия:

При известной функции полезности и параметрах q и i равенство (3.35) позволяет получить спрос на деньги как функцию темпа инфляции (л). Частный случай 1. и = 4с. Тогда равенство (3.35) примет вид.

Выразим объемы потребления через объем денег:

Приравняем правые части (3.36) и (3.37), получим функцию спроса на деньги:

Из нее следует, что с ростом темпа инфляции спрос на деньги растет.

Если q = 0, т. е. все домохозяйства «живут будущим», спрос на деньги равен нулю и весь объем денег тратится на покупку облигаций с целью получить максимальный процент и максимальное потребление в старости.

Частный случай 2. Функция полезности линейна: и = С. Тогда производная W' не зависит от объема денег: если она положительна, то спрос на деньги максимален и равен доходу, если она отрицательна, то спрос на деньги равен нулю. Считаем ставку процента (доходность облигаций) переменной, найдем ее значение, при котором W' = 0:

Если ставка больше этого значения, то W' < 0, и спрос на деньги падает до нуля, поскольку облигации более привлекательны. Если она меньше этого значения, то W' > 0, и спрос на деньги максимален и равен доходу.

Предположим, что функция полезности линейна, а ставка процента поддерживается на таком уровне, чтобы интегральная полезность домохозяйств не зависела от реального спроса на деньги. Тогда формула (3.38) позволяет определить доли домохозяйств разного вида на основе фактических значений ставки процента и темпа инфляции. Из равенства (3.38) следует:

Поскольку темп инфляции обычно приближенно равен ставке процента, данная формула принимает вид: q = i / (1 + 2г). Из нее при малых ставках процента получаем приближенное равенство: q ~ i.

Вывод. Если полезность домохозяйства равна его доходу, а ставка процента поддерживается на таком уровне, что интегральная полезность всех домохозяйств не зависит от реального спроса на деньги, то удельный вес домохозяйств, которые «живут сегодняшним днем» и не делают сбережений на старость, равен ставке процента. Поскольку ставка процента в развитых странах обычно не превышает нескольких процентов, мы приходим к выводу, что домохозяйства данного вида составляют абсолютное меньшинство, а большинство домохозяйств делает сбережения на старость.