Циклические группы. 
Алгебра и теория чисел. 
Группы, кольца и поля

Определение и примеры

Рассмотрим мультипликативную группу всех целых степеней двойки (2Z, •), где 2Z= {2ⁿ | п е Z}. Аналогом этой группы на аддитивном языке является аддитивная группа четных целых чисел (2Z, +), 2Z = {2n | п е Z}. Дадим общее определение групп, частными примерами которых являются данные группы.

Определение 1.8. Мультипликативная группа (G, •) (аддитивная группа (G, +)) называется циклической, если она состоит из всех целых степеней (соответственно, всех целых кратных) одного элемента а е G, т. е. G = {а^п | п е Z} (соответственно, G — {па | п е Z}). Обозначение: (а), читается: циклическая группа, порожденная элементом а.

Рассмотрим примеры.

• 1. Примером мультипликативной бесконечной циклической группы может служить группа всех целых степеней некоторого фиксированного целого числа а Ф ±1, она обозначается а^г. Таким образом, а^г — {а).
• 2. Примером мультипликативной конечной циклической группы является группа С" корней n-й степени из единицы. Напомним, что корни n-й степени из единицы находятся

по формуле e_k = cos———hisin^—, где к = 0, 1, …, п — 1. Следо- п п

вательно, С" =(е_х)= {е_х = 1, е_х, ef = е₂,…, е" ^-1 = ?"__х}. Вспомним, что комплексные числа е_к, к = 1, …, п — 1, изображаются точками единичной окружности, которые делят ее на п равных частей.

• 3. Характерным примером аддитивной бесконечной циклической группы является аддитивная группа целых чисел Z, она порождается числом 1, т. е. Z = (1). Геометрически она изображается в виде целых точек числовой прямой. По существу так же изображается мультипликативная группа 2⁷— = (2), в общем случае a^z = (а), где целое число а Ф ±1 (см. рис. 1.3). Это сходство изображений мы обсудим в параграфе 1.6.
• 4. Выберем в произвольной мультипликативной группе G некоторый элемент а. Тогда все целые степени этого элемента образуют циклическую подгруппу (а) = {а^п п е Z} < G.
• 5. Докажем, что аддитивная группа рациональных чисел Q сама не циклическая, а любые два ее элемента лежат в циклической подгруппе.

А. Докажем, что аддитивная группа Q не циклическая. Предположим противное: пусть Q = (—). Существует целое число Ь,

т/

не делящее т. Поскольку — eQ = (—) = sn—|neZ>, то суще;

Ъ т/ { т J.

ствует целое число гс₀, такое что — = п₀ —. Но тогда т = n₀kb,

b т

откуда т :Ъ — пришли к противоречию.

Б. Докажем, что два произвольных рациональных числа —.

Ъ

с «/1.

и — принадлежат циклической подгруппе (—), где т есть наи- d т/

меньшее общее кратное чисел b и d. В самом деле, пусть т-Ьи

, а аи 1 /1 с cv 1 /1.

и m = av, u, v е Z, тогда — = — = аи—е (—)и — = — = cv— е (—).

b Ьи т т/ a dv т т/

Теорема 1.3. Порядок циклической группы равен порядку порождающего элемента этой группы, т. е. |(а)| = |а|.

Доказательство. 1. Пусть |а| = «>. Докажем, что все натуральные степени элемента а различны. Предположим противное: пусть а^к = а^т и 0 < к < т. Тогда т — к — натуральное число и а^т~^к = е. Но это противоречит тому, что | а =°°. Таким образом, все натуральные степени элемента а различны, откуда следует бесконечность группы (а). Следовательно, | (а)| = °° = |а |.

2. Пусть | а | = п. Докажем, что (а) = {е — а⁰, а, а², …, а" ^-1}. Из определения циклической группы вытекает включение {а⁰, а, а², …, o'¹⁻¹} с (а). Докажем обратное включение. Произвольный элемент циклической группы (а) имеет вид а^т, где те Z. Разделим шнапс остатком: m-nq + r, где 0 < г < п. Поскольку а^п = е, то а^т = а^пя^+г = а^пч? а^г = а^г е {а⁰, а, а², …, а" -¹}. Отсюда (а) с {а⁰, а, а²,…, Таким образом, (а) = {а⁰, а, а²,…, а" ^-1}.

Остается доказать, что все элементы множества {а⁰, а, а², …, а"^-1} различны. Предположим противное: пусть 0 < i < п, но а' = а). Тогда оН — е и 0 < j — i < п — пришли к противоречию с условием | а | = п. Теорема доказана.