Вычисление обратной ллатрииы метолом Гаусса

Метод Гаусса является поистине универсальным в решении систем линейных алгебраических уравнений. Продемонстрируем применение данного метода при вычислении обратных матриц.

Практически этот наиболее простой метод вычисления обратной матрицы состоит из следующих шагов:

• 1) к матрице Л> по отношению к которой ищется обратная матрица, приписывается справа единичная матрица ?;
• 2) путем преобразований методом Гаусса над строками расширенной матрицы (Л (?) матрица А приводится к виду единичной матрицы;
• 3) после окончания указанного вычислительного процесса, т. е. когда на месте исходной матрицы А будет сформирована единичная матрица, на месте приписанной справа единичной матрицы Е будет находиться обратная матрица А~¹ Иными словами, вместо расширенной матрицы (АЕ) в итоге получается расширенная матрица (ЕА~^У).
• (I 2}

Пример 4. Найти обратную матрицу исходной матрицы А-

I^{3 4}J.

Выполняем последовательно шаги 1—3:

Выполняем последовательно шаги 1—3:

Здесь использованы тс же обозначения, что и в примерах 2, 3 п. 4.2.3, при этом стрелками показано, к какой строке прибавляется измененная строка. Последний этап вычислений, показанный стрелкой перехода 3, состоит в делении последней строки расширенной матрицы на -2. Итак, обратная матрица имеет вид:

Правильность проведенных вычислений нетрудно непосредственно проверить по определению обратной матрицы: АА~¹ = А~^]А.