Гармонические колебания. 
Физика

Существуют такие виды движения материи, при которых характеристики системы повторяются во времени. Они называются колебаниями и обладают особенностями, которые потребовали выделить их в отдельный класс физических явлений.

Если сместить груз по горизонтальной поверхности вдоль оси пружины (рис. 7.1) и затем отпустить, то возникнут колебания относительно положения равновесия х = 0. Предоставленные сами себе колебания называются свободными, или собственными.

Рис. 7.1.

или Если трением пренебречь, то на груз действует только упругая сила. В соответствии с формулами (1.34) и (1.37).

где с учетом неравенства k/m > О.

Уравнение (7.2) — это однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Его решение.

в чем нетрудно убедиться, подставив в уравнение (7.2) х и его производные (А и ф — постоянные):

Выражения (7.4)—(7.6) и зависимости x (t) и v (t), показанные на рис. 7.2, объясняют причины колебаний. При возврате груза к положению х = 0 его скорость максимальна (v —/1со_н), мгновенная остановка означала бы а~* °о, а при х = 0, как ясно из выражения (7.6), а = 0. В результате груз по инерции переходит к значениям х < 0, где направление упругой силы изменяется на обратное. Теперь она тормозит движение, пока при со,/ + <�р = л скорость не упадет до нуля. Как следует из выражения (7.4), это происходит при х = -А.

Рис. 7.2 170.

Деформация пружины и модуль силы упругости здесь такие же, как и при х = А, поэтому обсуждаемые процессы и их характеристики повторяются. Это отражает симметрия косинуса и синуса относительно х = 0.

Колебание, при котором характеристики движения зависят от времени по закону косинуса (синуса), называется гармоническим, а система, которая его совершает, — гармоническим осциллятором (от лат. oscillare — колебаться).

Из рассмотренного примера следуют условия колебаний:

• 1) наличие силы, возвращающей систему к положению равновесия;
• 2) инерционность системы, вследствие которой она его минует.

Гармонические колебания требуют и дополнительного условия: правая часть формулы (7.1) (возвращающая сила) должна быть пропорциональна смещению. Сила упругости этому условию удовлетворяет, а если ему удовлетворяет иная сила, то ее, по аналогии, называют квазиупругой (как бы упругой).

Максимальное смещение системы от положения равновесия называется амплитудой колебаний, а аргумент функции, определяющий текущее смещение, — фазой колебания. Как следует из формулы (7.4), при t = 0 она равна <�р, называется начальной фазой и определяет исходную координату х₀, с которой колебания начинаются.

Минимальный промежуток времени, через который система проходит то же положение в том же направлении, называется периодом Т колебаний: x (t) = x (t + 7). Исходя из этого определения получаем равенство со₀(7 + 7) + ф = = со₀7 + ф + 2к, поскольку 2л — минимальное приращение фазы, при котором значения косинуса повторяются. Отсюда.

Чем больше жесткость k пружины, тем большее ускорение она придает телу, показанному на рис. 7.1, тем меньше период его колебаний. Чем больше m (инерционность тела), тем больше нужно времени для его ускорения и торможения, и потому период возрастает. Примером могут служить автомобиль той или иной массы на рессорах той или иной жесткости, рояльная струна или мембрана барабана, где роль жесткости играет натяжение. Участок кожи, ограниченный раструбом стетоскопа, также играет роль мембраны. Изменяя давление стетоскопа, врач меняет ее натяжение и, соответственно, частоту ее колебаний.

Величина, обратная периоду 7' называется линейной частотой колебаний:

Единицей частоты служит герц (Гц) — в честь немецкого физика Г. Герца (1857—1894): 1 Гц = 1 с '. Частота колебаний автомобиля на подвеске —.

— 1 Гц, мембраны звукового сигнала—10³ Гц, света фар—И)¹⁵ Гц.

Из формул (7.3), (7.7) и (7.8) следует также соотношение для круговой, или циклической, частоты:

которая показывает число колебаний за 2тс секунд. Поскольку она определяется выражением (7.3), т. е. свойствами самой системы, ее называют собственной частотой.

Колебательные системы зачастую создают для преобразования энергии. Например, колебания поршней в цилиндре двигателя преобразуют в энергию поступательного движения автомобиля. Биологический (мышечный) поршневой двигатель управляет крыльями мух и пчел.

ВОПРОС. Какова энергия колебаний пружинного маятника?

ОТВЕТ. Его потенциальная, кинетическая и полная энергии определяются следу ющи м и формулам и:

Постоянство полной энергии системы обусловлено тем, что упругие силы относятся к консервативным. При этом средняя кинетическая и потенциальная энергии, как видим, равны, в соответствии с равнораспределением энергии, но степеням свободы.