Базисные переменные. 
Электротехника и электроника

Переменные, позволяющие получить математическую модель схемы (ММС) из линейно независимых уравнений, называются базисными переменными. Выбор базиса существенно влияет на такие важные характеристики программы, связанные с ММС, как:

=> алгоритм формирования ММС;

=> размерность ММС, от которой зависит скорость, точность расчета и максимальный размер рассчитываемой схемы;

=> типы допустимых в схеме зависимых источников /(и), /(/), и (и)₉ u (i).

Теоретически существует большое количество различных базисов, однако в разные периоды в программах ACM в качестве базисных переменных наибольшее применение получили:

=> емкостные напряжения и с и индуктивные токи i/., используемые при описании схемы по методу переменных состояния

где F (—) — уравнения резистивной нелинейной части схемы; u," i" —векторы напряжений и токов нелинейных элементов.

Недостаток метода — сложность формирования уравнений и ориентация на явные методы решения дифференциальных уравнений, практически не пригодные для расчета схем с большим разбросом постоянных времени из-за ограничений на шаг расчета. Реализация неявных методов затруднительна из-за сложности вычисления матрицы Якоби;

=> токи и (или) напряжения всех ветвей (полный гибридный базис), используемые при описании ММС по методу законов Кирхгофа:

где П, Г — топологические матрицы главных сечений и контуров; Ф (и, i) — компонентные уравнения.

Недостаток этого метода — слишком большая размерность ММС (число уравнений). При плохой обусловленности матрицы с увеличением ее размера растет вероятность больших ошибок решения линейных систем уравнений;

=> напряжения (базис узловых потенциалов), используемые в методе узловых напряжений:

где А — топологическая матрица узлов схемы (инциденций); и вектор узловых напряжений.

В настоящее время во многих современных программах ACM (например, в PSpice) в качестве базисных переменных используются узловые напряжения (потенциалы). Основные достоинства этого базиса:

=> простой алгоритм формирования ММС по исходной системе уравнений (1): не нужно строить дерево графа схемы и использовать топологические матрицы;

=> отсутствие проблемы топологических вырождений, поскольку узловые потенциалы независимо от топологии схемы всегда образуют невырожденный базис;

=> малая размерность ММС (не намного превышающая размерность ММС в методе переменных состояния);

=> простота и удобство использования неявных методов решения дифференциальных уравнений благодаря тому, что матрица узловых проводимостей имеет ненулевые диагональные элементы. При этом упрощается этап формирования ММС.

Недостаток базиса узловых напряжений — источники должны описываться уравнениями вида / = f (u) или / = const. Для его устранения осуществляется преобразование источников, например, идеального источника Е можно представляют в виде / = (Е — и) !R.