Симметрия, преобразования и элементы симметрии

Одним из характерных признаков кристаллов является их симметрия. Симметрией называется свойство бесконечного пространства или его конечной области (фигуры, тела) совмещаться самим с собой после выполнения некоторых преобразований или операций S, называемых преобразованиями или операциями симметрии. Пространством может быть не только пространство Евклида, но и любое физическое пространство, например, поля тяготения, электрических зарядов и т. д., анизотропные кристаллические пространства и их части.

Таким образом, симметрия представляет собой обобщение понятия равенства: в геометрии равными называются два тела (фигуры), у которых равны расстояния между соответствующими точками.

Условию (3.9) удовлетворяют два просто равных тела, различающиеся положением в пространстве, которые можно совместить друг с другом.

Согласно теореме Шаля [9], всякое перемещение сво;

юз бодного твердого тела из одного положения в другое может быть получено посредством поступательного перемещения вместе с произвольно выбранным полюсом и поворота вокруг некоторой оси, проходящей через этот полюс, т. е. всякое перемещение свободного твердого тела из одного положения в другое может быть получено посредством одного винтового движения: параллельным переносом вдоль некоторой прямой и поворотом около этой прямой. В частных случаях такое совмещение осуществляется либо параллельным переносом, либо простым поворотом около оси. Таким образом, движения тела без деформаций представляют собой преобразования симметрии.

Рис. 3.7. Отражение в зеркальной плоскости: а) геометрической точки, б) «запятой», в) правой и левой перчаток, г) правой и левой системы координат [1].

Рис. 3.8. Черные и белые перчатки, иллюстрирующие черно-белую симметрию [1].

Условию (3.9) удовлетворяют также два тела, равные друг другу зеркально, т. е. два тела, которые совмещаются друг с другом после отражения в зеркале, например, левая и правая перчатки или правая и левая системы координат (рис. 3.7.).

Алгебра и физика позволяют включить в критерий равенства дополнительные признаки: знак или заряд тела, его цвет и т. д. Так возникла черно-белая симметрия А. В. Шубникова, названная первоначально «антисимметрией» [10]. Черно-белую симметрию иллюстрируют черные и белые перчатки, для совмещения которых нужно совершить две операции: отражение в зеркале и изменение цвета.

К преобразованиям симметрии S относятся преобразования координат, сохраняющие инвариантность расстояний между двумя произвольно вобранными точками тела:

если после выполнения этих преобразований происходит самосовмещение тела. Преобразования (3.10) принадлежат к группе линейных преобразований. Связь между координатами х{ и Xj дается матрицей с постоянными коэффициентами.

Преобразования (3.11) в общем случае описывают однородные деформации, при которых прямые и плоскости преобразуются соответственно в прямые и плоскости. Требование (3.9) означает, что преобразования координат должны быть ортогональными, не изменяющими ни углов между прямыми (ортогональная система координат остается ортогональной), ни длины (г'² = г²). Условие ортогональности имеет вид.

где а,_к — детерминант матрицы (3.11). Из (3.12) сразу получаем, что.

Знак (+) означает, что преобразование не меняет типа системы координат, а знак (-) — что преобразование меняет тип системы координат; правая система при этом переходит в левую систему и наоборот.

Простейшим преобразованием симметрии является тождественное (единичное) преобразование, оставляющее все переменные без изменения.

Первичным преобразованием симметрии является отражение в плоскости. Пусть т (рис. 3.7а) — след зеркальной плоскости симметрии, перпендикулярной к плоскости чертежа. При отражении в плоскости т точка 1 преобразуется в точку 2. Следующее отражение преобразует точку 2 в исходную точку 1. Отражение в плоскости — симметрическое преобразование, состоящее из двух элементарных операций отражений. При неограниченном числе отражений точки 1 и 2 преобразуются друг в друга. Порядок или кратность операции отражения в плоскости равна двум.

Выберем плоскость т за координатную плоскость (Х₂Хт), а ось Х направим по нормали к плоскости т. Тогда координаты группы двух симметрически эквивалентах точек, преобразующихся друг в друга отражением в координатной плоскости (Х₂Х₃), будут.

Отражение (инверсия) в центре симметрии / является более сложным преобразованием симметрии. Как хорошо известно из геометрии, при преобразовании инверсии с центром в начале координат координаты точки меняются на противоположные. Так же инверсию можно представить как результат отражений в трех взаимно перпендикулярных плоскостях. При отражении точки 1 в каждой из этих плоскостей изменяется знак у соответствующей координаты. Поэтому,.

или, в векторной форме,.

Из выражения (3.16) видно, что отражения в трех ортогональных друг к другу плоскостях эквивалентны инверсии в точке пересечения этих плоскостей, которая является центром симметрии.

Осью симметрии называется прямая линия, при повороте вокруг которой фигура совмещается сама с собой. Элементарный угол поворота, т. е. наименьший угол поворота, приводящий фигуру в самосовмещение, содержится целое число раз в угле 2п — иначе фигура не совместится сама с собой при полном обороте. Число п, так называемый порядок оси, определяет, сколько раз фигура совмещается сама с собой при полном обороте вокруг оси.

В природных объектах — цветах, плодах и т. п., в геометрических фигурах, в произведениях искусства можно обнаружить оси симметрии любого порядка — от 1 до оо. В геометрических формах кристаллов возможны только оси симметрии 1, 2, 3, 4 и 6 порядков. В кристаллах невозможны оси пятого порядка и порядка больше шести.

Представим себе, что ось симметрии «-го порядка с углом поворота а = 2к/п выходит перпендикулярно к плоскости чертежа в точке А, являющейся узлом в ряду А, А', А» , …, показанном на рис. 3.9. Тогда, очевидно, в каждой гомологичной точке этого ряда тоже выходит такая же ось. Если поворот на угол а вокруг оси в точке А переведет точку А' в положение В', то такой же поворот вокруг оси, выходящей в точке А', переведет точку А в положение В. Точки В, В' и т. п. должны образовать ряд гомологичных точек, параллельных ряду АА т. е. расстояние.

где t — трансляция АА N — целое число. Так как BB'-t- 2/cosa, то t — 2/cosa = Nt, откуда.

Из условия |cosa|.

Таким образом, условию периодичности и непрерывности ряда гомологичных точек удовлетворяют только оси симметрии порядков 2, 3, 4 и 6. Аналогично доказывается, что в плоской сетке и в пространственной решетке тоже могут существовать только оси симметрии тех же порядков. Оси симметрии пятого, седьмого и следующих порядков в кристаллах невозможны.

Интересно отметить, что ось 5-го порядка невозможная в кристаллах встречается во многих биологических структурах («кристаллах живой природы»). Академик Н. В. Белов в своих работах писал: «Можно думать, что пятерная ось является у мелких организмов своеобразным инструментом борьбы за существование, страховкой против окаменения, против кристаллизации, первым шагом которой была бы „поимка“ решеткой».

Рис. 3.9. К доказательству невозможности оси симметрии 5-го порядка в кристалллической среде [1].

Введем также понятие полярной оси. Полярной называется ось, у которой свойства различны по разным направлениям. При этом, в кристаллах, у которых есть центр симметрии, не может быть полярных осей.

Рассмотрим, например, ось симметрии 4-го порядка в четырехгранной призме или в четырехгранной пирамиде. Два основания призмы одинаковы;

при отражении в центре симметрии или в поперечной плоскости симметрии один конец оси 4 совместится с другим и наоборот; различий в направлениях оси 4 нет — ось не полярна. В пирамиде тоже имеется ось 4, но никакими операциями симметрии, присущими самой пирамиде, нельзя совместить вершину пирамиды с ее основанием, т. е. один конец оси с другим ее концом — в пирамиде ось симметрии 4 полярна. Такие же оси 4 в кубе уже не полярны, потому что в кубе есть центр симметрии. Полярна, например, ось симметрии кругового конуса, но не полярна ось симметрии кругового цилиндра.

Рис. 3.10. Графические обозначения элементов симметрии [6]: а) — оси симметрии, перпендикулярные плоскости чертежа; б).

— оси 2 и 2], параллельные плоскости чертежа; в) — изображения осей симметрии, параллельных или косо расположенных к плоскости чертежа (на прямую насаживается символ вида а в перспективном искажении); г) — плоскости симметрии, перпендикулярные плоскости чертежа; д) — плоскости симметрии, параллельные плоскости чертежа.

Преобразования симметрии, не изменяющие тип системы координат, например, повороты и параллельные переносы, называются преобразованиями I рода, а изменяющие тип системы координат, например отражение в зеркальной плоено кости и инверсия, называются преобразованиями II рода.

Плоскость отражения, ось поворота, центр инверсии, вектор переноса (трансляция) — это геометрические образы, с помощью которых можно осуществить соответствующие преобразования симметрии. Эти образы называются элементами симметрии.

На рис. 3.10 и в табл. 3.1 приведены графические обозначения элементов симметрии.

Символы и обозначения элементов симметрии.

Наименование элемента симметрии.	Символ по.		Г рафическое обозначение.
	Шснфлису.	Международной комиссии.
Поворотная ось симметрии 1-го порядка.	с,.		нет.
—"—"—" — 2-го —"—.	с2
—"—" — —" — 3-го —"—.	С3
—"—"—" — 4-го —"—.	с4
—" — —"—" — 6-го —"—.	с6
Поворотная ось и-го порядка.	с".
Зеркально-поворотная ось 2-го порядка.	*.	О).
—"—" — —" — 4-го —"—.	S4	(4).
—"—"—" — 6-го —"—.	II. _ 40 <0.	(3).
Плоскость симметрии.	р	т
Центр инверсии.	с,
Инверсионная ось 1-го порядка.	№).
—"—"—" — 2-го —"—.	№).		нет.
—"—"—" — 3-го —"—.	(5б).
—"—"—" — 4-го —"—.	№).
—"—"—" — 6-го —"—.	№).

Табл. 3.1. Символы и обозначения элементов симметрии [2].