Применение в задачах экономики

Экстремум функции нескольких переменных

Рассмотрим некоторые типичные задачи нахождения экстремума функции нескольких переменных, возникающие в экономике.

Прибыль от производства разных видов товара. Пусть х, х₂,…" х_т — количество производимых т разновидностей товара, а их цены — соответственно Р, Р₂,…, Р_т (все — постоянные величины). Пусть затраты на производство этих товаров задаются функцией издержек.

Тогда функция прибыли имеет вид:

Максимум прибыли естественно искать как условие локального экстремума функции многих переменных (15.59) при х.^0 (при отсутствии других ограничений):

Это условие приводит к системе алгебраических уравнений относительно переменных х.:

Система уравнений (15.60) реализует известное правило экономики: предельная стоимость (цена) товара равна предельным издержкам на его производство. Решениями этой системы уравнений являются наборы, состоящие из т значений каждый. Нужно заметить, что процесс нахождения решения системы уравнений (15.60) зависит от вида функции издержек и может быть достаточно сложным.

Найденные наборы значений (х,°, х°, х°) необходимо проверить по достаточному признаку локального максимума (см. теорему 15.10 и признак Сильвестра для отрицательно определенной квадратичной формы). Иными словами, нужно выполнить следующие операции.

1. Составить гессиан для функции вида (15.59):

Если знаки главных миноров этого определителя чередуются начиная со знака минус, то проверяемое решение х[ xj,…" х° системы уравнений (15.60) является /л-мерной точкой локального максимума функции прибыли (15.59).

2. Далее из этих точек локальных максимумов необходимо выбрать ту, в которой функция (15.59) принимает наибольшее значение. Найденные таким образом значения х, xj,…, х*_т определяют набор количества товаров х_п которые необходимо выпускать, чтобы при имеющейся функции затрат на их производство и спектре сложившихся цен обеспечить максимальную прибыль.

Пример 24. Пусть производится два вида товаров в количестве х и у. Цены на эти товары соответственно Р_у — 8 и Р₂ = 10, а функция затрат С = х² + ху + у². Тогда согласно формуле (15.59) прибыль выражается функцией.

Условия локального экстремума приводят к системе линейных алгебраических уравнений

решив которую получаем точку (2, 4). Поскольку.

найденная точка определяет локальный максимум функции прибыли, который Р^{ЗВеН П}тах = ²⁸*.

Задача ценовой дискриминации. Эта задача связана с распределением товара одного вида по разным рынкам с разными спросами с тем, чтобы максимизировать общую прибыль. Неодинаковая эластичность спроса на рынках приводит к установлению разных цен на товар и к так называемой ценовой дискриминации.

Приведем формулировку общей задачи. Пусть х, х₂, … х_т — количество товара одного и того же вида, продаваемого на т рынках по ценам Р. (х₍), т. е. цена на каждом рынке зависит от количества продаваемого товара. Допустим, что функция затрат зависит от общего количества продаваемого товара, т. е. С = S (x, + х, + … + x, J. Тогда функция общей прибыли имеет вид:

Необходимое условие экстремума.

приводит к системе алгебраических уравнений для определения стационарных точек функции (15.62) в области х,? 0, х₂ > 0,…, х_т > 0 т-мерного евклидова пространства Е^т

Для анализа явления ценовой дискриминации проанализируем доход /? на каждом рынке в зависимости от цены на товар х_г Так как /?, = х_{Р_п предельный доход выражается суммой первых двух слагаемых в левой части (15.63):

где Е_{ — эластичность спроса на /-м рынке. Поскольку E_i обычно отрицательная величина, последнее равенство можно переписать в более удобной форме:

Если |?_#.| < 1, то /^<0, т. е. рынок не эластичный. Если S' > 0, то условие (15.63) требует выбора рынка с положительным предельным доходом, или, что-то же самое, с эластичным спросом, т. е. с условием |Е > 1. Из уравнений (15.63) имеем:

откуда и выводится условие ценовой дискриминации: чем меньше по абсолютной величине эластичность данного рынка при данном количестве продаваемого товара, тем выше должна быть цена на товар на этом рынке при условии максимизации прибыли.

Гессиан для функции прибыли (15.62) в сокращенной форме записи имеет вид:

Пример 25. Пусть имеется три рынка с продаваемым количеством товара х, х₂ и х₃ и с ценами на этот товар соответственно P_t = я, — bjx_p так что доход.

R. * Х/(а. — bjXj). Пусть функция затрат имеет вид С = А + В (х_х + х₂ + х₃). В указанных соотношениях все постоянные величины являются положительными. Тогда функция прибыли выражается формулой.

Условие локального экстремума приводит к системе уравнений.

откуда находим единственную стационарную точку, определяемую тремя равенствами:

Гессиан функции прибыли согласно формуле (15.65) имеет вид:

откуда при Ь. > 0 получаем по критерию Сильвестра точку максимума, так как знаки главных миноров чередуются начиная со знака «минус*.

Для конкретизации возьмем числа я, = 25, Ь_] = 5; а₂ — 45, Ь₂ = 4; д₃ = 85, Ь_} = 10; А = 10, В = 5. Тогда получаем распределение товара между рынками х, = 2, х₂" 5, х_у = 4 при ценах на них соответственно Р_х = 15, Р₂ * 25, Р₃ = 45. Нетрудно подсчитать, что соответствующие эластичности |?,| = 1,5, Е₂ = 1,25, | ?₃| *= 1,125 удовлетворяют принципу ценовой дискриминации: чем меньше величина Е. /-го рынка, тем выше должна быть цена товара на нем. Величина максимальной прибыли при этом равна П_тах = 270.