Основы дисперсионного анализа

Однофакторный дисперсионный анализ

Процедура оценки значимости различия между средними двух нормальных генеральных совокупностей рассмотрена в п.п. 9.2 и 9.3. Для сравнения по результатам наблюдений генеральных средних нескольких (более двух) нормально распределенных совокупностей с одинаковыми дисперсиями применяют метод, известный как дисперсионный анализ. Дисперсионный анализ широко используют в здравоохранении, медицине, экономике и т.д.

Типичной задачей однофакторного дисперсионного анализа является изучение влияния одного фактора на рассматриваемый признак. Если рассматривается более одного фактора, то дисперсионный анализ называется многофакторным.

Допустим, что ставится задача исследования влияния различных методик лечения на сроки выздоровления больного до получения положительного эффекта. Методику лечения естественно назвать качественным фактором А, а каждую конкретную методику — уровнем этого фактора. Спрашивается, влияет ли методика лечения А (качественный фактор) на сроки выздоровления X (количественный признак) больного или нет?

Пусть исследуется влияние некоторого качественного фактора А, имеющего п уровней А, А г, Аз, …, Л", на количественный признак х, причем на каждом уровне произведено по одинаковому числу испытаний от. Будем считать, что независимые выборки Х, Х₂, Хз, Х", извлеченные из генеральной совокупности X, распределены нормально, причем они имеют разные выборочные средние и одинаковые выборочные дисперсии.

Проверяется нулевая гипотеза Но: А', = Х₂ -…-Х_1Г т. е. групповые средние (представлены выборочными групповыми средними) равны при заданном уровне значимости а. Далее формулируется альтернативная гипотеза Н, :Х^Х₂ ±…*Х", т. е. хотя бы две любые групповые средние не равны между собой. Данные опытов х, удобно представить в виде табл. 10.1, где i — номер испытания (/= 1,2,…, от), j — номер уровня фактора (/'= 1,2,…, п).

Таблица 10.1. К однофакторному дисперсионному анализу.

Здесь все значения величины *_/у, наблюдаемые при каждом фиксированном уровне действия фактора A_Jy составляют группу, а групповые средние х_} и общее среднее х_общ вычисляются соответственно по формулам.

По данным табл. 10.1 рассчитывают специальные виды дисперсий — факторные и остаточные соответственно по формулам:

т где Rj = У*, — сумма наблюдаемых значений признака X на.

/=1.

т уровне Aj; Pj = У х* — сумма квадратов этих значений.

/=1.

Используя критерий Фишера — Снедекора, находят наблюдаемое значение критерия и сравнивают его значение с критической точкой K_Kp(a_in-, mnп) отвечающей уровню значимости, а и степеням свободы к_у=п-1.

к₂ =пт-п (см. таблицу прил. 6). Если Ктб1><�К*р — нулевая гипотеза о равенстве групповых средних принимается, означающая, что фактор А не оказывает влияния на разброс выборочных групповых средних. Если K,_ac

_Kf, то нулевая гипотеза Но отвергается и принимается альтернативная гипотеза Hi, т. е. фактор А оказывает существенное влияние на разброс групповых средних.

Пример 10.4. Методом дисперсионного анализа при уровне значимости, а = 0,05 проверить эффективность воздействия (i-блокатора (уровень фактора А) на частоту сердечных сокращений X (в уд/мин) по результатам опытов, представленным в табл. 10.2. Предполагается, что выборки извлечены из нормальных совокупностей Х, Хъ Хг и Ха с одинаковыми дисперсиями.

Таблица 10. 2. Результаты наблюдений воздействия [1-блокатора.

Решение. Сформулируем гипотезы:

Н₀:Х_]=Х₂=Х₂ = Хц — групповые средние четырех нормально распределенных совокупностей Xi, X?, Хз и Х₄ равны между собой (в контексте примера выборочная групповая средняя частота сердечных сокращений в четырех группах одинакова).

H_x:X_]*X₂*X_i*X_li — групповые средние четырех нормально распределенных совокупностей X/, Хз, Хз и Хз не равны между собой (в контексте примера выборочная групповая средняя частота сердечных сокращений в четырех группах неодинакова).

Найдем сумму и сумму квадратов наблюдаемых значений X на уровне фактора А_х:

Аналогично найдем R, и Р, на уровне фактора A, (J = 2,3,4):

Используя полученные значения, по формулам (10.2) найдем:

Подставляя найденные значения в (10.3), вычислим.

По таблице прил. 6 при уровне значимости а = 0,05 и числе степеней свободы А, = я —1=4—1 = 3, Л₂ =шя-и = 4−4-4 = 12 находим критическую точку К^(а, п-, пт-п) = А_кр(0,05,3,12) = 3,49.

Поскольку А’жюл = 42,5>А'_(ф = 3,49, то нулевую гипотезу Но отвергаем и принимаем альтернативную гипотезу Н, т. е. выборочные групповые средние в целом различаются значимо. Итак, при уровне значимости, а = 0,05 налицо факт существенного влияния суточной дозы p-блокатора на частоту сердечных сокращений.

Пример 10,5. Результаты измерения массы тела X (в кг) в трех выборках (уровень фактора А), в каждой из которых четыре новорожденных, представлены в табл. 10.3. При уровне значимости, а = 0,05 проверить нулевую гипотезу о том, что выборочные групповые средние массы новорожденных равны. Предполагается, что выборки извлечены из нормальных совокупностей Х, Х₂, ХзиХ^с одинаковыми дисперсиями.

Таблица 10.3. Результаты измерения массы тела новорожденных.

Решение. Сформулируем гипотезы:

Н₀: X_t — Х₂ — Х₃ — групповые средние трех нормально распределенных совокупностей A), Xi и Аз равны между собой (в контексте примера выборочная групповая средняя масса новорожденных в трех группах одинакова).

//,: А", * Х₂ * Х₃ — групповые средние трех нормально распределенных совокупностей А), Аз и Аз не равны между собой (в контексте примера выборочная групповая средняя масса новорожденных в трех группах неодинакова).

Найдем сумму и сумму квадратов наблюдаемых значений X на уровне фактора А, Аналогично найдем сумму и сумму квадратов значений X на остальных уровнях фактора А2, Аз и Ас

/?₂= 13,2; Лз=13,3; />2=43,625; />3=43,625;

По формулам (10.2) вычислим факторную и остаточную дисперсии соответственно:

Подставляя найденные значения в (10.3), вычислим.

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

По таблице прил. 6 при уровне значимости а=0,05 и числе степеней свободы к=п— =3−1=2, к2=пт-п=3 ? 4−3 =9 находим критическую точку *^(0,05,2,9) = 4,26.

Так как б_Л=0,78<4,26=А'кр, то отвергаем альтернативную гипотезу #i и принимаем нулевую гипотезу Но. Это значит, что при уровне значимости а=0,05 выборочные групповые средние массы новорожденных в целом различаются статистически незначимо и равны общему среднему значению их масс, т. е. дг_0бщ = 3,28 кг.

• 1. Сформулируйте задачу дисперсионного анализа.
• 2. Что такое группы в дисперсионном анализе?
• 3. Что такое уровни фактора?
• 4. Сформулируйте нулевые гипотезы задачи однофакторного дисперсионного анализа.
• 5. Что называется факторной и остаточной дисперсией в дисперсионном анализе?
• 6. Опишите алгоритм решения задачи однофакторного дисперсионного анализа.
• 7. Какое распределение применяется при проверке гипотезы однофакторного дисперсионного анализа?
• 8. При однофакторном дисперсионном анализе нулевая гипотеза о равенстве выборочных групповых средних принимается, если:
• 9. а) Кнабл^Лкр^ б) Кнабл^Ккр,
• в) Анабл Г) А*набл^<'^кр, лсв-
• 10. Выберите правильную запись наблюдаемого значения критерия при однофакторном дисперсионном анализе:

11. Остаточную дисперсию находят по формуле:

^в)^шйл — 1 /(^факт Уу ^Г)^габл ~^ост ^факт •.