Операторные методы в исчислении разностей

Запись уравнений в конечных разностях во многих случаях становится настолько громоздкой (особенно для систем уравнений), что уже с трудом прослеживается основная мысль.

Введение

системы условных обозначений делает записи прозрачными и освобожденными от ненужных конкретных деталей. Для таких описаний удобно применить операторные методы.

Оператор — математическое понятие, означающее в самом общем смысле соответствие между элементами множеств. Действие оператора на элемент (прообраз) ставит ему в соответствие некоторый другой элемент (образ). Эта операция осуществляет отображение оператором одного множества на другое.

Применение операторов для описания операций над сеточными функциями позволяет экономными и непосредственно ведущими к цели средствами представить разностные схемы. Однако использование операторов этим не исчерпывается. Возможность выполнять некоторые алгебраические операции над операторами имеет под собой глубокую математическую основ}'. В данном курсе различные операторы будут систематически использоваться для описания разностных схем и изучения их свойств.

Оператор сдвига. Введем оператор Т, такой, что его действие на сеточную функцию приводит к сдвигу на шаг — вычислению ее значения в следующем узле сетки:

Последовательное применение оператора сдвига приводит к понятию степени оператора сдвига:

Показатель степени у оператора сдвига может быть также отрицательным: Т~¹щ = Щ-1 или даже принимать полуцелое значение: r^½«i = u_i+½.

Связь между оператором сдвига и дифференциальным оператором. Рассмотрим оператор взятия производной D, областью определения которого является пространство бесконечно дифференцируемых функций: Du = du/dx = u_x. Для него также можно ввести понятие степени оператора Dⁿ = D (Dⁿ~^l) = DD____.

Разложим в ряд Тейлора сеточную функцию в узле, соседнем с рассматриваемым:

и перепишем это соотношение, используя введенные операторы сдвига и дифференцирования:

Из формального соответствия правой части разложению в ряд экспоненты получим Tu = e^hDu. Таким образом, между операторами существует следующая связь:

Левая и правая части этого операторного соотношения имеют совершенно разные области определения. Оператор сдвига определен в пространстве сеточных функций, а его дифференциальный эквивалент — в пространстве бесконечно дифференцируемых функций Сое. Это формальное соотношение между операторами представляет собой компактную запись разложения в ряд сеточной функции в окрестности выбранного узла. Важно отметить, что с выражениями такого рода можно выполнять алгебраические операции, в частности, на основе представлений такого вида можно устанавливать соответствие между разностными схемами и их дифференциальными представлениями.

Разностные операторы. При построении разностных схем фигурируют различные разности сеточных функций: центральные, разности вперед и назад, определенные па разных шаблонах. Использование операторов сдвига и их дифференциальных представлений позволяет из операторной записи легко строить дифференциальные приближения и получать оценки аппроксимации.

Введем следующее семейство разностных операторов и дадим их представление через оператор сдвига:

и близкие по форме построения операторы осреднения:

Введенные соотношения позволяют построить различные полезные соотношения между операторами, убедиться в справедливости которых мы предоставляем читателю:

Разностное представление производных. Используя полученную ранее связь между операторами сдвига и взятия производной, можно построить семейство различных разностных аппроксимаций производных. Для этого обратим операторное представление.

В математическом анализе известны разложения в ряды математических выражений, в частности.

Порядок точности будет определяться количеством удержанных членов в приведенном разложении, а ошибка аппроксимации не будет превышать первый отброшенный член (как это имеет место в знакопеременных рядах).

Применим это разложение для представления разностной производной «вперед»:

Ранее, на основе метода неопределенных коэффициентов, было получено разностное представление первой производной на одностороннем шаблоне, включающем три точки (2.3). Покажем, как можно расширить шаблон (и повысить порядок аппроксимации), используя опрераторный метод. Так, ограничиваясь в приведенном выше разложении тремя членами, получим.

Проводя формальное возведение в степень и приведение подобных, получим

или, в привычной нам индексной записи:

Для представления так называемой производной «назад» с помощью введенного операторного метода выразим оператор дифференцирования через разность 6~ :

Проводя разложение в ряд логарифма, можно построить левую одностороннюю формулу численного дифференцирования любого требуемого порядка.

Центральную разностную производную можно определить из операторного соотношения S = Т¹'² — Т^-1'², что позволяет установить связь разностных и дифференциальных операторов через гиперболический синус:

Обращая это выражение и используя разложение в ряд для арса — синуса гиперболического, получим.

что позволят получить семейство центрированных представлений производной различной степени аппроксимации на системе полуцелых точек. В дальнейшем при записи разностных выражений мы будем пользоваться введенными здесь операторными представлениями.