Геометрическое определение вероятности

Если число равновозможных исходов бесконечно и они целиком заполняют некоторую область, то используют геометрическое определение вероятности.

Пусть каждый результат испытаний определяется случайным положением точки в некоторой области, мера которой G (рис. 6.1). Под мерой области будем понимать длину, площадь, объем. Если G₀ — мера той области, попадание.

Q

в которую благоприятствует событию Л, то Р (А) = —f.

Рис. 6.1. Геометрическое определение вероятности

Геометрическое определение — вероятность события А есть отношение мер областей G₀ (попадание в которую благоприятствует событию А) и G (попадание в которую равновероятно, равновозможно и единственно возможно при данном опыте или испытании).

Пример 6Л0. На отрезке [0, 2] наудачу выбраны два числа х и у (рис. 6.2). Найти вероятность того, что эти числа удовлетворяют неравенству х² < Ау < Ах.

Решение. Нам известно, что 0 <�х< 2 и 0 <�у <2. Для их изображения воспользуемся системой координат. Точки с координатами (х, у) заполнят квадрат со стороной, равной 2 ед. Решим графически систему неравенств Ау <4х, х²< Ау.

Рис. 6.2. Графическое решение системы неравенств (пример 6.10)

Применим геометрическое определение вероятности, причем в качестве меры областей выступает площадь.

Пример 6.11. Точку наудачу бросили на отрезок [0; 2]. Какова вероятность ее попадания в отрезок (0,5; 1,4]?

Решение. Здесь пространство элементарных исходов — весь отрезок G = [0; 2], а множество благоприятствующих исходов — G₀ = 10,5; 1,4], при этом длины этих отрезков равны G = 2 и G₀ = 0,9 соответственно. Поэтому.

Пример 6.12. Два студента условились встретиться около столовой между 12 и 13 ч. Пришедший первым ждет другого в течение 20 мин, после чего идет обедать один. Чему равна вероятность встречи двух студентов, если приход каждого из них может произойти наудачу в течение указанного часа, а моменты прихода независимы?

Решение. Обозначим момент прихода студента 1 через х, а студента 2 — через у. Для того чтобы встреча произошла, необходимо и достаточно, чтобы |_г — у < 20. Изобразим х и у как координаты на плоскости, в качестве единицы масштаба выберем минуту. Всевозможные исходы представляются точками квадрата со стороной 60, а благоприятствующие встрече располагаются в заштрихованной области. Искомая вероятность равна отношению площади заштрихованной фигуры (рис. 6.3) к площади всего квадрата:

Рис. 6.3. Графическое решение примера 6.12