Доказательство предложения Блоха

Предложение, установленное в п. 1, геометрически может быть формулировано следующим образом. Рассмотрим семейство функций.

голоморфных в круге и таких, что F (z)^M. Какова бы ни была функция семейства (4), существует в плоскости w круг с центром в начале.

Й^г

координат радиуса Ф {М, R) — ^, который с помощью функции w = F (z)

взаимно однозначно отображается на некоторую область, лежащую внутри z

Очевидно, радиус Ф этого круга уменьшится, если мы расширим наше семейсгсо функций путём увеличения М. Естественно ожидать, что для семейства функций (4), модуль которых не ограничен никаким постоянным числом в круге вообще не может существовать в плоскости w круга с центром в начале координат постоянного радиуса, который покрывался бы значениями любой функции этого семейства.

Действительно, это легко обнаружить на примере. Пусть.

Z I^е

Так как е ¹ не равно нулю ни при каком z и е, е > 0, то w не принимает значения — е. Таким образом, какой бы малый круг постоянного радиуса с центром в начале координат плоскости w мы ни взяли, внутри него при достаточно малом г найдётся точка — е, которая заведомо не будет значением соответствующей функции w_t нашего семейства.

Однако, варьируя в зависимости от функции семейства центр круга плоскости w, сохраняя при этом радиус его неизменным, мы можем выбирать положение этого круга так, что он будет сплошь состоять из точек, изображающих значения функции данного семейства. Более того, мы сейчас докажем теорему Блоха, обобщающую только что высказанное утверждение" а именно:

Какова бы ни была функция семейства

голоморфная при существует круг плоскости w с центром-в.

некоторой точке, который взаимно однозначно отображается на некоторую область, лежащую внутри |гг|</?. Радиус этого круга не зависит от функции, т. е. некоторое постоянное (зависящее только от R).

Не уменьшая общности, мы можем принять R = 1. В самом деле, образуем вспомогательную функцию

Эта функция будет голоморфной в круге |д:|^1. Допустим, что мы доказали нашу теорему для функции ?(лг) и получили для неё круг в плоскости <�р с центром в некоторой точке абсолютно постоянного радиуса Б, который пзаимно однозначно отображается на некоторую область внутри |дг|<1. Тогда, возвращаясь к общему случаю и замечая, что F (Rx)=R мы заключаем: существует круг плоскости W — F с центром в некоторой точке, взаимно однозначно отображающийся на некоторую область внутри J г | < R. Радиус этого круга равен BR.

Для доказательства введём вспомогательную величину.

• 2(5) как функция 5 обладает свойствами:
• 1) 2(0) = 0; 2) 2(1)= 1; 3) 2(0) непрерывна. Таким образом, существует 0₀>0 такое, что 2(О₀) =1, в то время, как при 0<0″ имеем: 2 (0)< 1. Обозначим через 5 (| 51 = 1—0₀) точку, в которой | ?'(.*)| достигает максимума для значений | дг | ^ 1 — &оТогда

0 2.

В круге х—51^{2 имеем:} I ?'(?*) I ^ ?§-" так как этот круг составляет часть круга | х 1 ^ 1 — у, и, согласно определению 2 (0), получаем:

Отметим теперь формулу:

до 2.

Так как в круге х— г. сё время | <�р'(дг) | —, то в этом круге 6v;

• — Ч)
• 2 0

дег: |аг*| = | * (*) — *(?)! ^—- • у = 1. Итак, функция (дг) — © есть голоморфная в круге |лг —причём |ш*|г¹, а/*($) = 0, |а/*'($)| =.

= 1?'(5)| = |.

Применяя результат п. 1 к функции w*, получим:

Отсюда следует, вследствие результата п. 1, что обратная функция для.

w* == ?(л:) — f (5) есть однозначная внутри круга |в>*|<�Ф¹,.

Иными словами, круг с центром в точке ?(?) плоскости? радиуса В взаимно однозначно отображается на некоторую область, лежащую внутри круга х — $|< т. е. на область, внутреннюю к кругу |дг|< 1.

Примечание. Очевидно, предложение Блоха останется в силе, если рассматривать функции, голоморфные лишь внутри круга | дг | < 1. В этом случае абсолютное постоянное В должно быть заменено постоянным В_ь считая В_Х<�В. Действительно, достаточно применить результат Блоха к области | х | ^ 1 — е (е > 0), в которой данные функции голоморфны. Радиус круга Блоха будет В_Х=В ( 1—е), т. е. любое постоянное, меньшее В.