Динамическая модель электромагнитного поля в полости резонатора

Движитель электромагнитного типа [7−12, 17] состоит из источника электромагнитных колебаний радиочастотного диапазона и конического резонатора — рис. 1. Возбуждение электромагнитных колебаний в полости резонатора осуществляется через боковую поверхность или через торцевую поверхность с меньшим диаметром. Отметим, что при вводе через боковую поверхность осевая симметрия системы нарушается, поэтому для упрощения задачи рассмотрим моды колебаний поля в коническом резонаторе при возбуждении через торцевую поверхность в предположении, что решение не зависит от полярного угла.

Для моделирования электромагнитных колебаний в полости используем теорию Максвелла. Как известно, в случае осевой симметрии можно выделить моды колебаний с поперечным электрическим полем — ТЕ моды, и с поперечным магнитным полем — ТМ моды. В случае ТЕ моды можно предположить, что решение уравнений Максвелла в полости в цилиндрической системе координат сводится к волновому уравнению для единственной отличной от нуля компоненты векторного потенциала. Для описания электромагнитного поля в полости имеем систему уравнений В цилиндрической системе координат система уравнений (1) приводится к виду Граничные условия для векторного потенциала поставим нулем всюду на внутренней поверхности полости, за исключением области ввода, где векторный потенциал колеблется с частотой задающего генератора:

Полагая и подставляя это выражение в первое уравнение (2), находим Для первого уравнения (4) имеем краевую задачу Дирихле.

Рис. 1. Пространственное распределение амплитуды колебаний электрического поля, индукции магнитного поля и осевой компоненты вектора Пойнтинга в коническом резонаторе SPR Ltd, R. Shawyer, Flight Thruster (Boeing project) [17].

Положим амплитуду, зададим частоту генератора, размеры полости и канала ввода (в метрах):. Согласно [17] эти данные соответствуют резонатору фирмы SPR Ltd, R. Shawyer, Flight Thruster (Boeing project).

При указанной частоте в резонаторе такой формы и размеров возбуждается мода колебаний ТЕ013 [17]. Действительно, данные численного моделирования задачи (4)-(5), представленные на рис. 1, описывают азимутальное электрическое поле с нулевым числом колебаний вдоль угловой координаты, с одной пучностью вдоль радиальной координаты и с тремя пучностями вдоль продольной координаты. Отметим, что эти данные соответствует индексу 013 в обозначении моды ТЕ013.

Определим вектор Пойнтинга согласно.

Импульс электромагнитного поля в объеме полости равен Сила Абрагама, приложенная к объему полости, определяется как.

Сила Абрагама (8), приложенная к объему среды, заполняющей полость, может быть представлена двояко — в нерелятивистской форме (с учетом реакции эфира) [19] и в релятивистской форме [19−20].

Здесь — относительная диэлектрическая и магнитная проницаемость среды. Используя решение задачи (4)-(5) находим, что вектор Пойнтинга колеблется в полости с удвоенной частотой, поэтому какое бы выражение (9) мы не взяли, среднее за много периодов колебаний значение силы Абрагама равно нулю. Этот теоретический вывод является главным аргументом в критической оценке возможности движения без излучения импульса, при котором, кажется очевидным, нарушается третий закон Ньютона [23].

Заметим, что данные, представленные на рис. 1, получены в предположении, что сдвиг фазы колебаний электрического и магнитного поля равен точно. Однако это предположение не выполняется в модели (1)-(2) поскольку спектральная характеристика магнетрона отличается от гипотетической периодической зависимости (3). С учетом этого обстоятельства вычислим силу Абрагама, приложенную к объему резонатора, опираясь на общие выражения (2), а не на частные выражения (4). Предполагая, что симметрия решения сохраняется, имеем для осевой компоненты силы Абрагама:

Здесь для преобразования подынтегральных выражений были использованы уравнения (2). Последнее слагаемое в правой части (10) приводится к виду Наконец, учитывая, что в силу уравнений Максвелла, следовательно,, находим окончательно Таким образом, находим, что сила Абрагама, действующая вдоль оси системы равна Отметим, что все интегралы в правой части (11) могут быть приведены к поверхностным интегралам. Само же выражение (11) является частным случаем общего выражения, связывающего объемные силы с поверхностным интегралом от тензора натяжений Максвелла [20].

Очевидно, что при усреднении выражения (11) по времени все слагаемый в правой части этого выражения дают ненулевой вклад на периодических решениях вида (4). Поэтому, если среднее по времени значение силы Абрагама обращается в ноль, то это не связано с периодичностью решений. Однако на периодических решениях вида (4), использованных в работе [23], сила Абрагама равна нулю.

Сам по себе этот факт не является критическим для теории, поскольку, как показано ниже, сила тяги определяется взаимодействием тока смещения с магнитным полем, т. е. составляющей силы Абрагама, а не всей силой. В оригинальной теории Максвелла система движется с опорой на эфир. В теории относительности Эйнштейна система взаимодействует с пространством-временем [21−22].

Ясно, что решения вида (4) не описывают физически приемлемых граничных условий, связанных с конечностью величины добротности резонатора, но являются некоторой формой идеализации процесса электромагнитных колебаний в полости резонатора. Отметим, что сила тяги на единицу мощности, которую развивает электромагнитный движитель по данным [17], значительно превосходит аналогичный показатель для фотонной ракеты, составляющий по разным оценкам [17, 24].

Для построения динамической модели движителя необходимо в уравнениях динамики электромагнитного поля в полости (1) учесть токи, наведенные в стенке полости. В простейшем случае, считая, что выполняется закон Ома,, находим Рис. 2. Зависимость величины силы тяги на единицу мощности от добротности резонатора по данным [17] (вверху) и расчетная зависимость нормированной величины силы тяги от параметра добротности в модели (17) (внизу) вместе с данными [17].

Если резонатор изготовлен из материала обладающего сильной зависимостью проводимости от температуры, например, из меди, то в такой системе наблюдаются, помимо линейных электромагнитных колебаний, еще и нелинейные колебания, обусловленные колебаниями температуры. Действительно, температура стенки зависит от величины потерь плотности электромагнитной энергии в резонаторе, что по закону Джоуля-Ленца пропорционально. Избыток тепла удаляется из стенки путем теплопроводности и микроволнового излучения. Уравнение теплопроводности в этом случае имеет вид Здесь — плотность материала стенки, удельная теплоемкость, коэффициент теплопроводности и параметр в законе Стефана-Больцмана соответственно. Ниже будет показано, что, во-первых, существуют режимы колебания электромагнитного поля в полости такие, что среднее значение силы тяги, как составляющей силы Абрагама, отлично от нуля; во-вторых, при этом не нарушается третий закон Ньютона.