Условия Эрдманна—Вейерштрасса на линии излома

Если в одномерном случае мы рассматривали точки излома кривых, то здесь, в пространственном случае, мы должны изучать класс экстремальных поверхностей, полагая, что они могут иметь линии излома. Ограничимся для простоты выкладок случаем, когда линия излома у, т. е. линия скачков производных р и q, одна, причем она носит замкнутый характер. На этой линии не существует производных подынтегральной функции dfjdx и dfjdy, и исходный функционал У необходимо представить в виде У=У, + У, и рассматривать в двух областях Q, и Q, разделенных контуром С:

Отметим, что контур С является проекцией на плоскость (х, у) — линии излома у. В таком случае первая вариация может быть записана в виде

и, используя полученные условия трансверсальности (6.29) и (6.30), получим такие выражения для вариаций интегралов б/, и бУ:

здесь С и С⁺ — внутренняя и внешняя границы контура С.

В силу непрерывности независимых переменных х и у при переходе через контур С, а также по непрерывности на линии излома у функции z

где Д (6х) = 6х|_с+ — бх|_с_; Д (бу) = бу|_с+ — 8у_с_ Д (бz) = бг).,₊ — 6^_. Тогда из (6.32) и (6.33) получаем такое выражение для первой вариации бJ:

Приравнивая нулю это выражение и замечая, что оно, как всегда, должно выполняться для любой допустимой системы вариаций, получаем:

уравнение Эйлера (справедливое во всей области Q):

условия трансверсальности:

условия Эрдманна—Вейерштрасса на линии излома в общем случае:

В развернутом виде с учетом соотношений (6.29) и того, что наклон у' касательной к линии излома у одинаков на ней слева и справа,.

Если на линию излома у нет никаких ограничений, то уравнение (6.37) распадается на систему из трех уравнений:

которая справедлива для любой системы вариаций бх, бу и бz-