Обратные задачи модели воспроизводства национального дохода

За последние 60−70 лет сформировалась наука — математическая экономика, которая использует математический аппарат (от самых простейших — алгебраические соотношения, аналитические формулы, графики, диаграммы, таблицы, до последних достижений в области функционального анализа, дифференциальных уравнений, методов оптимизации, теории случайных процессов, математической статистики) для исследования экономических систем и явлений. Непосредственно она исследует не сами объекты, а их математические модели. Под математической моделью реального объекта (в частности, экономического) принято понимать его упрощенную, идеализированную схему, построенную с помощью математических символов, операций и соотношений. При построении этих моделей основополагающее значение имели работы В. Леонтьева, фон Неймана, Л. В. Канторовича, Вальраса, Эрроу — Дебре, Слуцкого, Курно, В. Ф. Кротова, В. А. Колемаева и др. [1].

Математическое моделирование макро — и микроэкономических процессов в настоящее время — один из основных инструментов экономического анализа. Использование экономико-математических методов и моделей позволяет получить новые качественные выводы об экономических процессах и явлениях [2].

В этой статье сформулированы прямая и обратная задачи в рамках изучаемой модели воспроизводства национального дохода, приведена методика решения поставленной обратной задачи.

Теоретический материал сопровождается решениями конкретных примеров с помощью Microsoft Excel.

Цель проведённого исследования — разработать методы решения обратных задач математических моделей макро — и микроэкономики и использовать полученные результаты для анализа и прогноза развития экономики Северо-Кавказского федерального округа в целом и Карачаево-Черкесской республики, в частности.

Постановка задачи

Дифференциальное уравнение простейшей модели воспроизводства национального дохода при дополнительных предположениях [3]:

• — накопление пропорционально приросту национального дохода в тот же момент времени;
• — динамика потребления независима, т. е. функция входит в искомое уравнение аддитивно;

имеет вид:

(1).

где — национальный доход; - капиталоёмкость национального дохода (отношение производственного накопления к приросту национального дохода); - часть используемого национального дохода.

Обычно рассматривается следующая задача: по заданным параметрам, найти (определить). Данную задачу условимся называть прямой в рамках модели (1) [1].

В данной статье в рамках модели (1) изучается следующая более сложная обратная задача: по заданному национальному доходу и части используемого национального доходавычислить капиталоёмкость национального дохода (отношение производственного накопления к приросту национального дохода). Эту задачу называют обратной [1].

Значения зададим таблично (таблица 1):

Таблица 1. Таблица значений национального дохода.

Из модели (1) и данных таблицы 1, вытекает следующая система алгебраических уравнений:

(2).

в которой неизвестными являются (производные, , …, находим численными методами [4]).

Из системы (2) найдём, , …,. Решая задачу квадратичного программирования[5]:

(3).

с помощью средств Microsoft Excel найдём наилучшую в среднем квадратическом оценку параметра.

Пример. Пусть задано таблично (таблицей 2):

Таблица 2. Таблица значений национального дохода.

1). Положим динамику потребления. Это означает, что весь национальный доход используют для расширения и потребление фактически отсутствует производства. Требуется вычислить коэффициент. Тогда подставляя данные таблицы 2. в (2) найдём:

или:

Решая задачу квадратичного программирования:

.

с помощью средств Microsoft Excel найдём наилучшую в среднем квадратическом оценку параметра :

Этапы проведённых вычислений задачи квадратичного программирования представлены на рис. 1−7.

Рис. 1. Ввод данных

Рис. 2. Значение целевой функции

Рис. 3. Ввод ограничений

Рис. 4. Ввод параметров целевой функции

Рис. 5. Результаты поиска решения

Рис. 6. Отчёт по результатам поиска решения

Рис. 7. Отчёт по устойчивости

2). Положим динамику потребления. Пусть имеет место при всех, если, т. е. в начальный момент времени не весь национальный доход направляется на потребление. Требуется вычислить коэффициент. Тогда система (2) при этих данных имеет вид:

Отсюда находим:

Решая задачу квадратичного программирования:

.

с помощью средств Microsoft Excel найдём наилучшую в среднем квадратическом оценку параметра :

Результат проведённых вычислений задачи квадратичного программирования представлен на рис. 8.

Рис. 8. Результаты поиска решения

3) Пусть модель (1) не учитывает технический прогресс и пусть потребление в модели растёт с постоянным темпом .

Рассмотрим уравнения (1) при.

Общее решение дифференциального уравнения (1) имеет вид:

.

а частное решение имеет вид:

Прологарифмировав обе части уравнения (*) получим:

или.

.

Подставляя наши данные из таблицы (1) в последнее уравнение получим:

или.

Отсюда найдём :

Решая задачу квадратичного программирования:

.

с помощью средств Microsoft Excel найдём наилучшую в среднем квадратическом оценку параметра :

Результат проведённых вычислений задачи квадратичного программирования представлен на рис. 9.

Рис. 9. Результаты поиска решения

Сформулированы прямые и обратные задачи в рамках модели воспроизводства национального дохода. Разработана методика построения неотрицательных решений обратной задачи. По заданным таблично решениям прямой задачи, строится система алгебраических уравнений, содержащая в качестве неизвестных оцениваемые параметры изучаемой модели. После этого поставленная обратная задача сводится к решению задачи квадратичного программирования, решения которой определяются с помощью надстройки «Поиск решения» в среде MSExcel.

Теоретический материал сопровождается решением конкретного примера с помощью Microsoft Excel.

математический модель экономика.

• 1. Семенчин Е. А., Урусова А. С. Обратные задачи в экономических балансовых моделях и моделях экономического роста.- Краснодар: Просвещение — Юг, 2009. — 142 с.
• 2. Кундышев Е. С. Математическое моделирование в экономике. М.: Издательско-торговая корпорация «Дашков и «, 2006. 352 с.
• 3. Журавлёв С. Г., Аниковский В. В. Дифференциальные уравнения. — М.: Издательство «Экзамен», 2005. 128 с.
• 4. Вержбицкий В. М. Численные методы. — М.: Высшая школа, 2001. — 189 с.
• 5. Орлова И. В. Экономико-математическое моделирование. — М.: Вузовский учебник, 2005. — 144 с.