Свойства пределов. 
Математика

Для вычисления пределов пользуются простыми правилами, основывающимися на свойствах пределов. Перечислим эти свойства.

1. Функция в одном процессе не может иметь более одного предела.

Доказательство. Будем рассуждать от противного. Пусть функция в некотором процессе имеет два различных предела Ь_х и Ь₂. Тогда ее можно представить в виде суммы постоянной и бесконечно малой двумя разными способами:

Отсюда следует, что

Разность двух бесконечно малых есть бесконечно малая, разность b₂— b_v по условию, положительное число. Но бесконечно малая переменная в процессе изменения (по модулю) становится меньше любой положительной постоянной, поэтому последнее равенство невозможно и предположение о двух разных пределах исключается.

2. Предел постоянной равен ей самой (что вполне очевидно).

Продолжая перечисление свойств, обратим внимание на то, что функции, упоминаемые в каждом из следующих пунктов, рассматриваются в одном и том же процессе изменения независимой переменной.

• 3. Предел суммы (или разности) двух функций равен сумме (или разности) пределов этих функций.
• 4. Предел произведения двух функций равен произведению пределов перемножаемых функций (при этом постоянный множитель можно выносить за знак предела, п. 2).
• 5. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций при условии, что предел делителя не равен нулю.

Суть этих свойств в том, что они допускают перестановочность операции предельного перехода и арифметических действий над функциями.

В качестве примера приведем доказательство свойства 4.

Доказательство. Пусть функции f (x) и /₂(х) имеют пределы Ь_х и Ь₂ соответственно. Тогда каждая из этих функций представима в виде суммы постоянной и бесконечно малой:

Перемножая эти функции, получаем:

Первое из четырех слагаемых в правой части есть произведение двух постоянных, обозначим его Ь. Каждое из остальных слагаемых является бесконечно малой, поэтому их сумма также является бесконечно малой (обозначим ее ср (х)). Таким образом, для произведения данных функций получено выражение в виде суммы постоянной и бесконечно малой и согласно теореме 6.2 о бесконечно малых постоянная b = b_{ b₂ является пределом данного произведения, что и доказывает свойство 4:

Чтобы проиллюстрировать разные возможности рассмотрим пример. Для функции.

скольку числитель дроби стремится к 4, а знаменатель к нулю, то дробь неограниченно возрастает (по модулю) и предел не существует:

В этом примере мы раскрыли неопределенность типа оо.

<< — «; оо.

5) при х —> 1 как числитель, так и знаменатель дроби являются бесконечно малыми. Неопределенность типа «Ц» раскрывается следующим образом:

В процессе решения, выделив множитель, который обращает в нуль числитель и знаменатель, и сократив на него (при х * 1), мы избавились от неопределенности.

Перейдем к рассмотрению двух пределов, которые ввиду исключительной роли, принадлежащей им как в самой математике, так и в ее приложениях, называются замечательными пределами.