Средняя арифметическая. 
Статистика

В экономических и статистических исследованиях наибольшее применение нашли средние арифметические величины. Средняя арифметическая (при степени k = 1) применяется в тех случаях, когда объем изучаемого признака образуется как сумма значений отдельных единиц анализируемой совокупности. Если средней арифметической величиной заменить каждый вариант усредняемого признака, итоговый показатель не изменяется.

Например, если заменить заработную плату отдельных работников предприятия средней заработной платой по данному предприятию за этот же период, то объем фонда заработной платы не будет изменяться.

Средняя арифметическая величина может быть простой и взвешенной.

Простая средняя арифметическая величина (X) рассчитывается с использованием следующей формулы:

где п — объем статистической совокупности (число единиц в статистической совокупности).

Применяют простую среднюю арифметическую величину, как правило, при определении среднего уровня абсолютных величин с тем условием, что используемые при расчете данные (абсолютные величины) не сгруппированы.

Рассмотрим расчет и применение средней арифметической величины на практическом примере.

Пример 4.1.

Имеются данные о трудовом стаже рабочих цеха. Необходимо рассчитать средний стаж рабочих.

В таблице определено, что всего в цехе работает 12 рабочих (п) с различным трудовым стажем (л*,). Используя формулу (4.1), получаем, что средний стаж рабочих цеха составляет.

В том случае, когда данные по абсолютным величинам сгруппированы и представлены в виде статистического ряда распределения, используется расчет средней арифметической взвешенной величины, но формуле.

где Xj — индивидуальное значение признака (варианта).

Для расчета также может быть использована еще одна формула, которая представляет собой модификацию формулы (4.2):

где dj — частость, соответствующая Х_г

Средняя арифметическая обладает следующими свойствами:

1) если в формуле (4.2) все частоты разделить или умножить на одно и то же число, то величина средней арифметической не изменится.

2) общий множитель индивидуальных значений признака может быть вынесен за скобку.

3) средняя суммы (разности) двух или нескольких величин равна сумме (разности) их средних.

4) если все варианты имеют одинаковое значение (Х_х =Х₂ =… = X_t =… = = Х_п = С), то их средняя арифметическая равна этому значению.

5) сумма отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической равна нулю.

Расчет средней арифметической взвешенной специфичен для дискретного и интервального рядов распределения. Рассмотрим это на практическом примере.

На основании имеющихся данных составим дискретный ряд и рассчитаем значение арифметической взвешенной по дискретному ряду распределения на основании формул (4.2) и (4.3).

Используя формулу (4.2), рассчитываем средний стаж рабочих:

Теперь рассчитаем аналогичный показатель (средний стаж рабочих) с использованием модифицированной формулы средней арифметической взвешенной (4.3):

Результаты расчетов одинаковы как для средней арифметической простой, так и для средней арифметической взвешенной, рассчитанной с использованием традиционной и модифицированной формул.

Далее рассмотрим расчет средней арифметической взвешенной величины на примере интервального ряда.

Пример 4.3.

Имеется интервальный ряд распределения предприятий по объемам производства продукции. Необходимо рассчитать среднюю арифметическую взвешенную, которая будет характеризовать средний объем производства продукции.

Первоначально необходимо узнать срединное значение каждого интервала. Срединное значение каждого интервала рассчитывается как сумма границ интервала, деленная на два (это графа 4 в таблице). Для первого интервала срединное значение составит: (5 + 6,6): 2 = 5,8. Аналогичным образом выполняется расчет и для всех последующих интервалов.

Затем по формуле (4.2) или (4.3) определяем среднюю арифметическую:

Итак, средний объем производства продукции по совокупности предприятий составляет 9,7 млн руб.

В случае если в ряду распределения имеются открытые интервалы, при нахождении их срединного значения предполагается, что длина их равна длине предшествующего или последующего закрытого интервала.

Следует иметь в виду, что изложенный прием расчета средней арифметической по интервальному ряду распределения дает лишь приблизительный результат и используется в случаях, когда нет непосредственных данных о величине каждой варианты. Однако ошибка будет тем меньше, чем меньше длина интервалов и чем больше единиц совокупности в каждом из них.

При расчете средней арифметической взвешенной по данным, представленным в виде ряда распределения (дискретного или интервального), в качестве веса используется частота или частость. Но в экономико-статистических расчетах «вес» — понятие более широкое, чем число единиц совокупности в отдельных группах ряда распределения.

Расчет средней арифметической взвешенной величины используют, как правило, при расчете среднего уровня относительных величин (например, средняя производительность труда работников, средняя себестоимость единицы продукции, средняя рентабельность производства ассортимента продукции и т. п.).

Здесь особое значение приобретает обоснование того показателя, который используется в качестве веса признака (т.е. веса того признака, для которого производится расчет среднего уровня). Для правильного выбора веса необходимо четко понимать сущность изучаемого показателя и знать аналитическую форму его расчета.

На практических примерах рассмотрим специфику определения веса, необходимого для расчета среднего уровня ряда относительных экономических показателей.

Пример 4.4.

Имеются данные о суммах инвестиций и доли в них собственных инвестиций предприятий в составе акционерного общества. Необходимо определить вес и рассчитать среднюю арифметическую взвешенную удельного веса собственных средств в общем объеме инвестиций по предприятиям акционерного общества (АО).

Прежде всего необходимо определить аналитическую формулу по показателю, для которого будет рассчитываться средняя взвешенная величина. В данном случае — это показатель удельного веса собственных средств предприятий в общей сумме инвестиций:

На основании аналитической формулы определяем, что для расчета удельного веса собственных средств предприятий в общем объеме инвестиций, рассчитываемом по всему акционерному обществу, в знаменателе необходимо указать сумму инвестиций по акционерному обществу, которая составит 87,5 млн руб. (15,5 + 40 + 32). Соответственно, в числителе необходимо отразить сумму собственных средств предприятий, которые были вложены в общий объем инвестиций.

Возвращаясь к аналитической формуле, мы видим, что если удельный вес — это отношение собственных средств к инвестированным всего, то, следовательно, собственные средства в стоимостном выражении — это сумма инвестиций, деленная на удельный вес собственных средств (если расчет ведется в процентах) или умноженная на удельный вес (если расчет ведется в коэффициентах):

II! = 15,5 млн руб.: 69,3% (или 15,5 млн руб. • 0,693) = 10,7 млн руб.;

П₂ = 40 млн руб.: 57,4% (или 40 млн руб. • 0,574) = 23 млн руб.;

П₃ = 32 млн руб.: 62,8% (или 32 млн руб. • 0,628) = 20,1 млн руб.

В данном случае вес (/)) средней арифметической взвешенной — это сумма инвестиций, а доля собственных средств предприятий — это индивидуальное значение признака (*,):

Таким образом, получаем, что среднее взвешенное значение удельного веса собственных средств предприятий акционерного общества в общем объеме инвестиций составляет 61,5%, соответственно, удельный вес привлеченных средств составит 38,5%.

Пример 4.5.

Имеются данные по рентабельности реализованных видов продукции, выпущенных предприятием, и затрат, связанных с производством данных видов продукции.

Прежде всего определим аналитическую формулу для расчета рентабельности реализованной продукции:

Для расчета рентабельности реализованной продукции в целом по предприятию необходимо в числителе дроби отразить значение прибыли от реализации продукции. Прибыль от реализации продукции — это доходы за вычетом расходов или сумма затрат по i-му виду продукции, умноженная на рентабельность реализации этого же вида продукции (S3; - R_t).

Тогда знаменатель отразит сумму всех затрат, связанных с производством всех видов продукции. И отсюда, индивидуальное значение признака х, — — эго рентабельность реализации продукции, а вес признака /_; — это объем затрат на производство продукции. Тогда средняя рентабельность реализации продукции по предприятию рассчитывается следующим образом:

Итак, средняя рентабельность реализации продукции предприятия, рассчитанная как средняя арифметическая взвешенная, составляет 8,9%.

Примеры 4.4 и 4.5 наглядно демонстрируют, что в качестве значений веса индивидуального признака используются данные, которые образуют знаменатель средней арифметической взвешенной величины — это общее правило для всех средних арифметических взвешенных величин.