Понятие о вычете. 
Общая формула определения вычета относительно полюса

Вычетом функции f (z) в точке z=a при называется число, которая вычисляется по формуле.

.

Где — достаточно малая окружность радиуса, и такая, что в ней нет других особых точек. В этом случае величина вычета не зависит от величины радиусы. Вычет f (z) в точке z=a обозначается.

.

Из формулы Следует, что вычет в точка z=a определяется по формуле:

(1).

То есть вычет функции f (z) в точке z=a равен коэффициенту. Это коэффициент при разложении ряда Лорана. Если особая точка устранена, то f (z) вычет равен нулю. Это определение вычета справедливо для конечных особых точек, когда .

С помощью вычетов можно существенно упростить вычисление интегралов от функции комплексного переменного. Вычисление интегралов можно свести к вычислению вычетов подынтегральной функции в особых точек. Пусть — спрямляемый контур и G — область, ограниченная этим контуром. Пусть функция f (z) аналитична в области G за исключением конечного числа точек. Тогда область G и контур внутри этой области — изолированные точки. Вокруг каждой из этих точек выделяем окружности.

Тогда справедлива формула:

(2).

Пусть функция f (z) имеет в точке z=a полюс порядка k, тогда ее разложение в ряд Лорана имеет вид:

Полюс же в этой точке будет вычисляться по этой формуле:

(3).

Если порядок полюса равен 1, то вычет вычисляется по формуле.

Если при этом f (z) представляет собой отношение P (z) и Q (z), которые аналитичны в точке z=a, то есть.

Тогда.

(5).