Уравнение Пуассона. 
Проводник в электрическом токе

Произвольное векторное поле E>(r>) характеризуется тремя скалярными функциями Ej (r>), где j пробегает значения x, y, z (если говорить о декартовой системе координат). Поэтому одного уравнения (6.2), вообще говоря, недостаточно, чтобы найти электрическое поле. Однако электростатическое поле потенциально. Это накладывает столь сильное ограничение, что все три компоненты E> можно выразить через одну скалярную функцию — электрические потенциал ?. Подставляя.

E> = ?grad?.

в уравнение.

divE> = 4рс получаем уравнение Пуассона Д? = ?4рс. (10.1).

где дифференциальный оператор Д = divgrad называется оператором Лапласа, или лапласианом. Уравнение Пауссона играет столь важную роль в электростатике, что его часто называют основным уравнением электростатики. В декартовой системе координат оно записывается следующим образом:

?2? ?x2 + ?2? ?y2 + ?2? ?z2 = ?4рс. (10.2).

В произвольной криволинейной системе координат для вычисления оператора Д необходимо исходить из инвариантных определений дивергенции и градиента (см. 6 и 8).

Уравнение Пуассона относится к классу дифференциальных уравнений в частных производных. Иногда специальным выбором системы координат его удается свести к обыкновенному дифференциальному уравнению. Это случается, если в такой специальной системе координат плотность заряда и потенциал зависят от одной координаты.