Производящая функция. 
Теория вероятностей

Полезным инструментом при изучении случайной величины является производящая функция.

Определение. Функция от параметра ?, равная математическому ожиданию функции е*^х> называется производящей функцией^[1]

случайной величины X:

Производящая функция т_х(1) содержит в себе сведения о всех начальных моментах («производит» моменты), т. е. по ней можно определить функцию распределения, содержащую все сведения о случайной величине. В этом смысле производящая функция и функция распределения являются эквивалентными обобщающими характеристиками случайной величины.

Рассмотрим свойства производящей функции.

1. Если т_х{1) — производящая функция случайной величины X, то производящей функцией величины сХ будет

2. Производящая функция суммы независимых случайных величин равна произведению производящих функций этих величин:

3. Начальные моменты к-го порядка случайной величины X равны значениям к-й производной от функции т_х(Ь) в точке 7 = 0, т. е.

Свойства 1 и 2 почти очевидны, так как следуют из свойств операций со степенями. Свойство 3 можно обосновать, если учесть разложение функции е^гХ в степенной ряд.

Р> Пример 3.17а. Найти производящую функцию, математическое ожидание и дисперсию случайной величины, распределенной по биноминальному закону (см. параграф 4.1), г. е. дискретной случайной величины, принимающей значения Х = т (т = 0, 1,…, п) с вероятностями где р.

Решение. Производящая функция такой случайной величины по формуле (3.38) имеет вид.

(последнее равенство получено на основании формулы бинома Ньютона).

Найдем производные функции т_х(1):

Найдем начальные моменты V, и у₂ по формуле (3.41):

Следовательно, математическое ожидание М (Х) — V, = пр.

Для получения формулы дисперсии учтем, что она представляет второй центральный момент р₂ (см. параграф 3.7), т. е.

Итак, для биноминального закона.

?

Производящая функция комплексной случайной величины /X, т. е. функция йх (О = Ме" ^х, называемая характеристической, широко используется в фундаментальной теории вероятностей.

• [1] Более точное название функции (3.38) — производящая функция моментов случайной величины.