Коэффициент детерминации. 
Корреляционное отношение. 
Индекс корреляции

Для измерения степени тесноты количественных переменных помимо коэффициентов корреляции используются коэффициент детерминации, корреляционное отношение и индекс корреляции. Эти меры определены для любой формы связи: при линейной или нелинейной зависимости и для признаков, не имеющих совместного нормального распределения. Формально они определяются с помощью общей (полной) дисперсии aj, признака/: + о;?,.

где о} — дисперсия функции регрессии Дх) относительно математического ожидания у; of — дисперсия ошибки наблюдения, которая характеризует разницу между эмпирическими значениями у, — и расчетными значениями Дх,).

Тогда коэффициент детерминации равен.

Его величина показывает, какая доля общей дисперсии признака у определяется (детерминируется) дисперсией функции регрессии. Оставшаяся доля общей дисперсии, т. е. ,.

объясняется действием неконтролируемых факторов («помехи») и определяет верхнюю границу точности предсказания у по х.

При нелинейной форме связи показательназывается корреляционным отношением.

Индекс корреляции 1_ух характеризует тесноту парной связи. Он является величиной неотрицательной. Свойства индекса корреляции во многом похожи на свойства коэффициента корреляции, при этом 0<|р|</<sub>у|_х <1. Если 1_ух =|р|, то имеет место точная линейная корреляционная зависимость. В случае 1_ух = 1, т. е. при су. = 0, отсутствует влияние прочих факторов и все распределение сконцентрировано на кривой регрессии, между у и х присутствует функциональная зависимость. При 1_ух=0 связь полностью отсутствует (су = 0).

Если для линейных регрессий знак коэффициента корреляции связан с наклоном прямой, то знак индекса корреляции, используемого также и для нелинейных регрессий, не интерпретируется.

Более высокое значение индекса корреляции по сравнению с величиной коэффициента корреляции свидетельствует о том, что подгонка кривой имеет преимущества по сравнению с прямой линией, т. е. регрессия нелинейная.

Оценка индекса корреляции. Если уравнение регрессии у = Дх) предварительно оценено по выборке, то оценкой квадрата индекса корреляции служит величина.

где Sj — оценка дисперсии о^; S^_CT — остаточная дисперсия значений у, относительно модели регрессии Дх); Sj — оценка общей дисперсии отклика у.

Для сгруппированных данных, например при использовании корреляционной таблицы, оценкой дисперсии aj является выборочная дисперсия.

где К — число интервалов группировки по х; n_xj — частота попадания в j-й интервал по х; у, — среднее значение у в j-м интервале.

Тогда индекс корреляции вычисляется по формуле.

где S|_CT — остаточная дисперсия относительно у (х).

Для характеристики силы связи по значениям г или 1_ух используется шкала Чеддока [16] (табл. 9.1).

Таблица 9.1

Шкала Чеддока.

При значениях /. ниже 0,7 величина коэффициента детерминации Ц.|_v всегда будет меньше 50%, т. е. менее половины общей дисперсии признака у определяется дисперсией функции регрессии. Такие модели связи не имеют практического значения. При значениях I ^ выше 0,9 сила связи является весьма высокой и ее модель можно использовать на практике.