Основные геометрические места точек пространства

Сущность задачи на нахождение ГМТ

Напомним, что геометрическим местом точек (ГМТ) пространства, обладающих данным свойством, называется множество всех точек пространства, каждая из которых обладает этим свойством. Все остальные точки пространства указанным свойством не обладают. ГМТ задается свойством точек, которое называется характеристическим свойством этого ГМТ (фигуры). геометрический пространство параболоид аполлония Каждая задача, в которой требуется найти ГМТ по его характеристическому свойству, предполагает требование описать это ГМТ наглядно через известные элементарные фигуры. Решение задачи на отыскание ГМТ неизбежно приводит к доказательству двух утверждений — прямого и ему противоположного: необходимо доказать, что.

• 1) каждая точка предполагаемого (искомого) ГМТ обладает заданным свойством;
• 2) любая точка, не принадлежащая этой фигуре, заданным свойством не обладает.

Вместо второго утверждения можно доказывать эквивалентное ему утверждение, обратное первому: если точка обладает заданным свойством, то она принадлежит искомой фигуре.

Решение задачи на нахождение ГМТ пространства по заданному его характеристическому свойству в большинстве случаев начинается с создания предположения (гипотезы) о виде искомой фигуры, в чем существенную роль играют известные ГМТ плоскости. Потом исследуются другие положения плоскости, сохраняющие заданное свойство точек, что позволяет определить вид искомой фигуры.

Нередко искомое ГМТ представляет собой пересечение уже известных ГМТ.

Исследование полученного решения состоит в рассмотрении особых случаев взаимного расположения объектов (точек, прямых, плоскостей и др.), через которые задано характеристическое свойство точек искомой фигуры (ГМТ).

Для примера найдем геометрическое место точек пересечения плоскостей, содержащих данную точку A, со всеми перпендикулярными им прямыми, лежащими в данной плоскости б и пересекающимися в данной точке B.

Пусть точка A не лежит в плоскости б и точка H — ее ортогональная проекция на плоскость б (рис. 1).

Рис. 1.

Пусть M — произвольная точка искомого ГМТ, т. е. M = (BM)? г, BM? г, BM? б, A? г.

По определению б? г. На основании следствия из него (AH)? г. Поскольку BM? AM, то MH? BM. Следовательно, точка M лежит на окружности с диаметром BH. Докажем обратное утверждение. Пусть M — произвольная точка окружности с диаметром BH, не совпадающая с точками B и H. Тогда угол BMH прямой и из BM? MH следует BM? AM и затем BM?(AMH). Значит, точка M обладает заданным свойством (является точкой пересечения прямой, лежащей в плоскости б, и плоскости, перпендикулярной этой прямой и содержащей точку A). Точки H и B также обладают этим свойством: точка H лежит в плоскости, проходящей через точку A и перпендикулярной BH, а точка B лежит в плоскости ABH и на прямой плоскости б и перпендикулярной BН.

Таким образом, искомым ГМТ является окружность в плоскости a с диаметром BH .

Отметим два частных случая. 1) A? a. Тогда точки A и H совпадают и искомым ГМТ является та же окружность. 2) Если точки B и H совпадают, то искомым ГМТ является одна точка B.