Уравнение Шредингера. 
Физика

Здесь i — мнимая единица; V — оператор Лапласа; U = U (x, у, z, t) — потенциальная энергия частицы, определяющая силу, действующую на частицу как F= -grad U;m — масса частицы. Вспомним, что оператор Лапласа.

Если состояние частицы не зависит от времени, Ч' = Ч'(х, у, z), уравнение Шредингера принимает упрощенный вид и называется стационарным уравнением Шредингера

где Е — полная энергия частицы.

Физический смысл иси-функции состоит в том, что ее квадрат определяет вероятность того, что частица будет обнаружена в пределах некоторого объема (IV. Таким образом, плотность вероятности нахождения частицы в некотором объеме определяется как.

Проинтегрировав последнее выражение от начального объема V₀ до конечного У, приравняем полученный интеграл к единице, поскольку вероятность найти частицу в этом объеме стопроцентная

Пример решения задачи (квантование частицы в потенциальной яме).

Дано: частица находится в бесконечно глубокой потенциальной яме шириной /. Определить Т-функцию внутри ямы.

Объяснение. Во-первых, необходимо определить само понятие «потенциальной ямы». Сначала для простоты представим, что частица находится в обычной, в геометрическом смысле, яме. Частица лежит на дне ямы, при этом сама яма — с бесконечно высокими стенками. Это означает, что частица не может оказаться за пределами этой ямы (рис. 8.1), поскольку ей не хватит потенциальной энергии. Следующим шагом рассмотрим частицу в потенциальной яме. Теперь уже яма — не геометрическая, а энергетическая. Для того чтобы находиться на дне.

Рис. 8.1. Частица в потенциальной яме ямы (интервал от 0 до /), не требуется никакая энергия. Но, чтобы преодолеть бесконечный потенциальный (энергетический) барьер, частице требуется бесконечная потенциальная энергия. Например, электрон, вращающийся в атоме вокруг своего ядра, в нашем понимании находится на дне потенциальной ямы. Правда, такая яма не бесконечна, в этом случае она называется потенциальным барьером. Такой электрон может оторваться от своего атома и стать свободным, но для этого ему потребуется определенная энергия.

Решение. Определим так называемые граничные условия, т. е. значения функций на границе В интервале 0 < х < / потенциальная энергия в интервалах х < 0, х > I потенциальная энергия

Кроме того,.

поскольку вероятность частице оказаться в точках х = 0 и х = I нулевая, так как барьер — бесконечный.

Положение нашей частицы не зависит от времени, следовательно, можно воспользоваться стационарным уравнением Шредингера (8.1). Мы определяем Ч'-функцию внутри ямы, где, согласно условию (1), 11 = 0 и уравнение упростится до вида.

Кроме того, для одномерной задачи (где не учитываются координаты у и z) упрощается и представление оператора Лапласа и уравнение Шредингера для нашей задачи примет вид.

Мы получили классическое уравнение колебаний вида решением которого является функция.

Осталось определить значения коэффициентов а, k и а. Из условия (3) следует, что.

Из того же условия (3) следует, что.

Полученные коэффициенты Ьа подставляем в уравнение (8.2)

Подстановка a, k и, а в (4) дает.

Таким образом, мы получили^{-функцию} для частицы, находящейся на дне бесконечной потенциальной ямы шириной /. Следует заметить, что эта функция — периодическая и не всегда принимает значения, равные единицы. А это означает, что есть отличная от нуля вероятность того, что частица окажется за пределами бесконечной потенциальной ямы, хоть это и кажется нам невозможным.

Квантование же частицы состоит в том, что значения ее^{-функции} могут принимать определенные дискретные (квантовые) значения.

Туннельный эффект состоит в том, что, аналогично только что рассмотренному примеру, есть отличная от нуля вероятность того, что частица может преодолеть потенциальный барьер, даже если ее энергия меньше энергии барьера (рис. 8.2).

Рис. 8.2. Туннельный эффект.