Минимаксное решение. 
Теория вероятностей и математическая статистика для экономистов

При отсутствии априорной информации о параметре 0 применяют прием упорядочения допустимых решающих правил, использующий в качестве критерия максимальное значение функции риска (максимальный риск: m (g) = = max/фО, g)). Тогда из двух решающих правил выбирают то, которому соответствует меньший максимальный риск. Правило g: m (g) = min (m (g')) называется минимаксным (minimax) решающим правилом (принцип минимакса). Таким образом, правило minimax избавляет от чрезмерных потерь: наибольшая потеря, связанная с этим правилом, настолько мала, насколько эго возможно. Однако принцип минимакса не всегда является благоразумным.

Рассмотрим случай, изображенный на рис. 14.1. Здесь g₂ имеет худшие свойства по сравнению с g_l для большинства значений 9, но предпочтительнее g'(по принципу минимакса.

Рис. 14.1. Иллюстрация неблагоразумности принципа минимакса

В общем случае вопрос о существовании и строении минимаксных правил достаточно трудный, и мы его рассматривать не будем. Отметим лишь один частный случай, когда удается просто установить минимакс некоторого решающего правила, а именно предположим, что существует априорное распределение параметра 9 П (9) > 0, для которого функция риска соответствующего байесовского решения g постоянна, т. е. R (9, g) = а = const. Такое распределение П (9) называется наименее благоприятным априорным распределением. Тогда g — минимаксное решение. Действительно, в противном случае существовало бы решение g, для которого максимальный риск m (g) < а. Но это означало бы, что R (9, g) < R (9, g*) для любых 9 в противоречие с допустимостью байесовского решения.

Пример 14.1. Предположим, что некоторое предприятие выпускает продукцию партиями фиксированного размера. Из-за случайных сбоев в производственном процессе возможен выпуск партий с недопустимым процентом бракованных изделий. Проведенные ранее расчеты показывают, что вероятность производства негодной партии равна 0,05 и, следовательно, годная к отправке партия имеет вероятность 0,95. Это и есть априорные вероятности. Для удобства положим 0 = 0, если партия годная и 0 = 0₂, если — нет. Тогда П (0,) = Р (0 = 0,) = 0,95; П (0₂) = Р (в = 0,) = 0,05.

Предпринимателю известно, что при отправке негодной партии он будет оштрафован, и он решает проверять два изделия из всей партии и принимать решение после этого. Пусть X — результат проверки (число годных среди двух отобранных). В результате проверки может быть установлено следующее;

• • оба изделия годны;
• • одно из изделий годно;
• • оба изделия бракованные.

Таким образом, X может принимать только три значения. Пусть х_ь х₂, х₃ обозначают соответственно эти три исхода. Далее предположим, что бракованные изделия в годной партии составляют 4%, а в негодной — 15%. Тогда Р (дг, /0,) =С 0,96² -0,04° =0,922; Р (.г₂ /0,) =С> 0,96> -0.04¹ =0,0768;

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

Далее, используя формулу получаем.

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

Теперь исходя из формулы составляем матрицу для П (0,/ Xj):

Вывод. Если оба проверенные изделия годные (X = Ху), то вероятность пригодности партии к отправке равна 0,96 039, а если оба изделия бракованные (X = х₃), то вероятности пригодности или непригодности партии почти равны между собой. Это показывает, что окончательное решение может существенно зависеть от исходов проверки.

Предположим далее, что предприниматель отправляет партии товаров двум потребителям. Контрактом оговорено, что процент бракованных изделий, отправляемых потребителям Л и б, не должен превышать 5 и 8% соответственно. За один процент превышения установленных пределов предусмотрен штраф в размере 100 долл. В то же время производство партии более высокого качества увеличивает затраты производителя на 80 долл, за каждый процент. Каким образом предприниматель должен принять решение о том, кому из потребителей отправлять данную партию?

В этой задаче существует два решения: d — отправить партию потребителю А и d₂ — отправить партию потребителю В. Составим матрицу затрат /.(0, g) (в долл.):

Если партия имеет 4% брака (0,), производитель теряет (5 — 4) • 80 = 80 (долл.) на производстве изделий более высокого, чем необходимо, качества. Но если изделия будут иметь 15% брака (0₂), то штраф будет составлять (15 — 5) • 100 = = 1000 (долл.). Аналогично для d₂-

Заметим, что принимаемое решение должно зависеть от результатов проверки х_у, х₂, х₃. Другими словами, необходимо на основе результатов проверки определить, какое из решений более выгодно. Поэтому по формуле подсчитаем:

Теперь подсчитаем байесовский риск по формуле Так как r (d) -(d₂), то d_A — оптимальное решение.

Общее решение заключается в том, что партию изделий следует отправлять потребителю А.

Предположим теперь, что мы не знаем априорное распределение параметра 0. Найдем минимаксное решение.

Так как у нас значений СВ X три: х_{, х₂, х₃, а решений — два: отправлять А или В, го получаем всего 8 решающих функций (2 ^! = 8):

По формуле (14.1), которая в нашем случае имеет вид.

где i= 1, 2; k= 1, 2,…, 8,.

находим восемь векторов риска Например:

Таким образом, числовые значения этих векторов равны:

Очевидно, что решение g₇ является недопустимым, так как.

Для остальных решений находим максимальные риски: m (g) = max/ДО, g)):

Тогда следовательно, g_s — минимаксное решение.

Но g₈ означает, что при всех х, — принимается решение d₂, т. е. продукция отправляется потребителю В.

На практике мы часто не знаем априорное распределение параметра 0, и в этом случае при принятии решения мы используем минимаксный подход.