Опыт Кавендиша. 
Курс общей физики

Значение гравитационной постоянной 7 может быть установлено по формуле (7.51), если известны массы двух сферически симметричных тел, расстояние между их центрами инерции и сила, с которой они притягиваются друг к другу. Проблема заключается в том, что для тел, массы которых могут быть измерены непосредственно, сила тяготения оказывается настолько малой, что ее очень трудно измерить. Впервые это удалось сделать лорду Кавендишу в 1798 г. (Генри Кавендиш (1731 — 1810) — английский ученый). В качестве основною измерительного инструмента он использовал крутильные весы, которые имеют очень высокую чувствительность и дают возможность измерять очень слабые силы.

Крутильные весы представляют собой подвешенный на упругой нити легкий стержень (коромысло), на концах которого закреплены два свинцовых шарика массы т каждый (рис. 7.12). При повороте стержня в горизонтальной плоскости нить закручивается и в ней возникают упругие деформации, которые порождают силы, стремящиеся вернуть стержень в положение равновесия. Чем больше угол поворота стержня, тем больше силы упругих деформаций и тем больше вращательный.

где с — коэффициент пропорциональности, называемый крутильной жест? костью нити.

Если к шарикам приложить равные по величине и противоположные по направлению перпендикулярные к стержню горизонтальные силы F

Рис. 7.12. Крутильные весы.

и — F, то положение равновесия стержня изменится и будет соответствовать такому значению угла поворота, при котором алгебраическая сумма моментов, действующих на стержень сил F , — F и сил упругости нити, равна нулю:

где / - длина стержня. Отсюда найдем, что сила, удерживающая стержень в новом равновесном положении, пропорциональна углу поворота:

Из этой формулы следует, что значение силы F, приложенной к шарикам и удерживающей их в положении равновесия, можно измерить по углу поворота стержня. Для измерения угла на нити укреплено небольшое зеркальце. Тонкий луч света падает на зеркальце, отражается от него под некоторым углом и попадает на измерительную шкалу. При повороте стержня отраженный луч перемещается по шкале. Измерив смещение луча, можно найти угол поворота стержня и значение силы F.

Кавендиш поместил вблизи крутильных весов два симметрично расположенных свинцовых шара массы М каждый. Измерив силу притяжения шаров с массами m и М по углу поворота коромысла крутильных весов, он вычислил по формуле (7.51) значение гравитационной постоянной. Проведенные позднее более точные измерения дали следующий результат:

Потенциальная энергия взаимодействия двух и более частиц определяется формулой (5.76).

где Wik — энергия взаимодействия частиц с номерами ink. Для двух тяготеющих друг к другу материальных точек с массами т, и т* энергия их взаимодействия согласно формуле (7.4) равна.

где Rik — расстояние между этими частицами. Подставив энергию (7.53) в формулу (7.52), получим выражение для гравитационной энергии системы материальных точек:

Согласно формуле (7.24) выражение в круглых скобках.

есть потенциал гравитационного поля, создаваемого всеми частицами системы, кроме частицы с номером i, в точке пространства, где находится эта частица. Теперь выражению (7.54) можно придать вид.

Если вещество распределено в пространстве непрерывным образом с объемной плотностью д = р (г), то от суммирования в формуле (7.55) следует перейти к интегрированию по пространству, т. е. заменить сумму объемным интегралом:

Вычислим по этой формуле гравитационную энергию однородного шара массы М и радиуса R. Его плотность есть сферически симметричная Так как плотность массы в пространстве вне шара равна нулю, интегрирование в формуле (7.56) следует проводить только по объему шара. Согласно формуле (7.46) потенциал гравитационного поля внутри шара есть сферически симметричная функция:

при г < R. Таким образом, под знаком интеграла в формуле (7.56) будет стоять сферически симметричное выражение. Поэтому в качестве элементарного объема интегрирования dV удобно взять объем тонкого сферического слоя радиуса г и толщины dr:

Подстановка формул (7.57) — (7.59) в интеграл (7.56) приводит к определенному интегралу.

Вычисление этого интеграла по формуле Ньютона — Лейбница дает следующий результат:

В случае произвольного сферически симметричного распределения вещества вместо общей формулы (7.56) удобно использовать более простую формулу для гравитационной энергии, которую нетрудно вывести следующим образом. Так как величина А/(г), определяемая формулой (7.42), есть масса вещества внутри сферы радиуса г, a dM = g® 4nr²dr есть масса вплотную к этой сфере прилегающего сферического слоя, его гравитационная энергия согласно формуле (7.46) будет равна.

Полная гравитационная энергия всего вещества равна интегралу от этого выражения:

Для однородного шара зависимость д = д (г) имеет вид (7.57) и интегрирование приводит к формуле (7.60).