Независимые события. 
Теорема умножения для независиых событий

Событие называется независимым от события , если появление события не изменяет вероятности события , т. е. если условная вероятность события равна его безусловной вероятности:

Подставив эту формулу в соотношение.

,

Получим.

,

отсюда.

т.е. событие не зависит от события .

Итак, если событие не зависит от события , то и событие не зависит от события , т. е. свойство независимости событий взаимно.

Для независимых событий теорема умножения имеет вид.

т.е. вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Два события называют независимыми, если вероятность их совмещения равна произведению вероятностей этих событий; т. е. вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. В противном случае события называют зависимыми.

Пример. Найти вероятность совместного поражения цели двумя орудиями, если вероятность поражения цели первым орудием (событие) равна 0,8, а вторым (событие) равна 0,7 .

Р е ш е н и е. События и независимы, поэтому по теореме умножения.

Несколько событий называют попарно независимыми, если каждые два из них независимы. Например, события попарно независимы, если независимы события и, и, и С.

Несколько событий называют независимыми в совокупности (просто независимыми), если независимы каждые два из них и независимы каждое событие и все возможные произведения остальных. Например, если события независимы в совокупности, то независимы события и, и, и; и, и, и .

Подчеркнем, что если несколько событий независимы попарно, то отсюда еще не следует их независимость в совокупности. Отсюда следует, что требование независимости в совокупности сильнее требования их попарной независимости.

Следствие. Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий:

…

.

Так как события независимы в совокупности, то независимы и события и, а также и . По теореме умножения двух независимых событий имеем:

и .

Отсюда имеем.

.

Вероятность появления хотя бы одного события

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий

,

где .

Доказательство. Обозначим через событие, состоящее в появлении хотя бы одного из событий События и (ни одно из событий не наступило) противоположны. Следовательно, сумма их вероятностей равна единице:

.

Отсюда, пользуясь теоремой умножения, получим Или.

.

Если события имеют одинаковую вероятность, равную, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий равна.

.

Решение. Вероятности не попаданий при залпе выстрелов:

Искомая вероятность.