Аналитический способ нахождения равнодействующей системы сил

Геометрический способ нахождения равнодействующей системы сил сопряжен с определенными трудностями, особенно в случае большого числа сил. Поэтому предпочтительнее аналитический метод нахождения равнодействующей.

Пусть {,, , …} система сходящихся сил на плоскости имеет равнодействующую. Обозначим через и проекции этой равнодействующей на оси системы координат, а через, ;, ;…,; проекции сил, ,, … на те же оси. Из математики известно, что проекция суммы векторов на какую — либо ось равна алгебраической сумме проекций слагаемых векторов на ту же ось. Тогда:

Модуль равнодействующей равен:

Направляющие косинусы вектора можно найти по формулам:

Условие равновесия системы сходящихся сил в геометрической и аналитической форме.

В геометрической форме: для равновесия свободного твердого тела, находящегося под действием плоской сходящейся системы сил необходимо и достаточно, чтобы силовой многоугольник был замкнут (рассмотрим на примере плоской сходящейся системы сил {,, , } (рис. 2.11).

Рис. 2.11.

В аналитической форме: Для равновесия свободного твердого тела, находящегося под действием плоской сходящейся системы сил необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций всех сил на каждую из осей равнялась нулю: