Уравнение плоскости. 
Матрицы и определители

Даны точки М1 (2; -1; 3) и М2 (-2; 1; 3).

1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М1 перпендикулярно вектору =.

Найдем координаты вектора = :

= {x2-x1; y2-y1; z2-z1} = {-4; 2; -2}.

Уравнение плоскости, проходящей через точку М1(x0; y0; z0) и перпендикулярно вектору =(A; B; C):

A*(x-x0)+ B*(y-y0)+ C*(z-z0) = 0 -4* (x-2) + 2*(y + 1) — 2*(z — 5) = 0.

Следовательно, уравнение плоскости имеет вид: 2*x — y + z — 10 = 0.

2. Найти отрезки, отсекаемые данной плоскостью на осях координат Уравнение плоскости в отрезках имеет вид:

Приведем уравнение плоскости 2*x — y + z — 10 = 0 к виду в отрезках, поделив на 10: a = 5; b = -10; c = 10.

3. Начертить плоскость Отменить на координатных осях отрезки, отсекаемые плоскостью и построим плоскость:

Пределы функций

1. Вычислить предел = = = .

Ответ: lim =.

2. Вычислить предел.

= = {так как }=.

=.

Ответ: lim =.

3. Вычислить предел.

= = {так как } = = {так как } =.

Ответ: lim =.

Исследовать функцию и построить график

y = x2 +.

1. Область определения функции Функция y = x2 + определена на всем множестве x = .

2. Исследуем функцию на четность.

f (-x) = (-x)2 += = x2 + f (x)функция является четной, график функции симметричен относительно оси Оу.

3. Вертикальные асимптоты.

=? следовательно х=0 — вертикальная асимптота.

4. Горизонтальные и наклонные асимптоты.

= - следовательно горизонтальные асимптоты отсутствуют.

=? — следовательно наклонные асимптоты отсутствуют.

5. Найдем экстремумы и интервалы монотонности функции Вычислим первую производную функции y':

y' = ()' = 2*x ;

Найдем значения х, при которых первая производная обращается в нуль:

2*x — = 0 x = ± и x?0.

На промежутке (-?; (0;1] первая производнаяy' < 0, следовательно, функция у на этом промежутке убывает.

На промежутке [первая производнаяy' > 0, следовательно, функция у на этом промежутке возрастает.

Так как первая производная y' в точках х =1 и х= - 1 меняет значение с отрицательного на положительное, то в этой точке функция у имеет минимум:

у (-1) = 2.

у (1) = 2.

Точка минимума функции у (-1; 2) и (1;2).

6. Найдем интервалы выпуклости и точки перегиба функции Вычислим вторую производную функции y':

y'' = ()'' = =0.

Таким образом, вторая производная функции у положительная при всех значения х, следовательно, знак не меняет точек перегиба нет;

Так как y'' >0, следовательно первая производная функции у монотонно возрастает, а значит функция у имеет выпуклость вниз.

7. Найдем точки пересечения функции ус осями координат Точки пересечения с осью х:

y = = 0.

Корней нет, следовательно, точки пересечения с осью х отсутствуют Точки пересечения с осью у также отсутствуют, так как x?0.

8. Построим график.