Методика обучения учащихся решению задач, в условии которых для предельных преобразований предложены комбинации нескольких геометрических фигур

По мере изучения учащимися предельных преобразований геометрических фигур такие преобразования постепенно перестают быть предметом изучения и становятся тем средством, с помощью которого мы исследуем свойства геометрических фигур.

При решении задач на предельные преобразования геометрических фигур необходимо выделять те элементы фигур, которые при выполнении таких преобразований не изменяются, и элементы, которые после предельных преобразований изменятся. Особенно ярко это проявляется при решении задач, в условии которых рассматриваются либо элементы фигур, либо комбинации нескольких геометрических фигур.

Для обозначения неизменяющихся объектов мы пользовались терминами «статичные объекты» и «инварианты», для изменяющихся объектов — терминами «динамичные объекты» и «переменные».

Приведем две задачи, в которых один и тот же факт рассматривается как со стороны планиметрии, так и со стороны стереометрии.

Задача 2.9. 1. Прямоугольник MNKF вписан в равнобедренный треугольник АВС. Вершины М и N лежат на боковых сторонах треугольника, а вершины К и F принадлежат его основанию АС. К какой фигуре будет стремиться прямоугольник MNKF, если он остается вписанным, его площадь стремится к нулю, а д лины сторон треугольника АВС не изменяются?

2. Прямоугольный параллелепипед ABCDMNKF вписан в правильную четырехугольную пирамиду SA₁B₁C₁D_l следующим образом. Вершины А, В, С и D его нижнего основания принадлежат основанию A_]B₁C₁D_l пирамиды. Вершины М, N, К и F верхнего основания прямоугольного параллелепипеда лежат на боковых ребрах данной пирамиды. К какой фигуре будет стремиться прямоугольный параллелепипед ABCDMNKF, если он остается вписанным таким же образом, его объем стремится к нулю, а длины всех ребер правильной четырехугольной пирамиды SAjBjQDj не изменяются?

Решение. При решении таких задач целесообразно использование аналогии, так как очевиден факт установления связей между планиметрической и стереометрической задачей. Последовательность решения таких задач может быть различной: возможно решение сначала планиметрической задачи, затем стереометрической, можно решать планиметрическую задачу после того, как было найдено решение стереометрической, возможно находить решение двух задач одновременно. Однако какую бы последовательность мы не выбрали, целесообразно краткую запись решения обеих задач приводить одновременно (для этого мы делили классную доску пополам и на левой ее половине приводили решение одной задачи, а на правой — решение другой задачи).

Приведем решение сначала первой, планиметрической задачи, а затем второй, стереометрической.

На рис. 2.26, а изображен прямоугольник MNKF, вписанный в равнобедренный треугольник АВС способом, описанным в условии задачи.

Рис. 2.26.

Учащиеся называют те элементы, которые при предельном преобразовании останутся неизменными, и те, которые будут изменяться.

Длины сторон треугольника АВС остаются постоянными, т. е. данный треугольник при предельных преобразованиях не изменится. Сохранится также принадлежность вершин прямоугольника MNKF сторонам треугольника АВС.

Площадь прямоугольника MNKF будет стремиться к нулю в одном из трех случаев: 1) длина прямоугольника стремится к нулю (ширина не стремится к бесконечности и не стремится к нулю); 2) ширина прямоугольника стремится к нулю (длина не стремится к бесконечности и не стремится к нулю); 3) длина и ширина прямоугольника стремятся к нулю.

При описании предельного преобразования полезно указывать не только начальное и конечное состояния объектов, но и их промежуточные значения. Так, в первом выделенном нами случае MN —> О и FK —> 0. Так как точки М и N лежат на боковых сторонах треугольника и MN —> 0, то точки М и N будут стремиться к точке пересечения боковых сторон треугольника, т. е. к точке В. Точки К и F будут стремиться к основанию высоты BFI, в противном случае нарушится условие MJV | | FK. Тогда прямоугольник MNKF будет «вытягиваться» вверх, на некотором этапе совпадет с прямоугольником M’N’K’F' (рис. 2.26, б). В конечном случае прямоугольник MNKF совпадет с высотой ВН треугольника АВС.

Во втором случае прямоугольник MNKF будет стремиться к основанию АС треугольника АВС (рис. 2.26, в) Третий случай невозможен. Покажем это. Длины всех сторон прямоугольника MNKF стремятся к нулю, тогда должна существовать некоторая точка G, к которой стремится каждая из точек М, N, К и F. Так как точки М, N, К лежат на разных сторонах треугольника АВС и стремятся к точке G, то по крайней мере одна из сторон треугольника должна стремиться к нулю, что противоречит условию.

Так как мы рассмотрели все возможные случаи, то других ответов в данной задаче быть не может.

Перед началом решения второй задачи следует сравнить условие планиметрической и стереометрической задач. Целью такого сравнения является, во-первых, выявление аналогичных объектов и отношений в рассматриваемых задачах, во-вторых, на основании аналогии в формулировке задач формирование предположения о том, что и вторая задача имеет ответ и способ решения (доказательства), аналогичный первой задаче.

В нашем случае можно указать следующие аналогии:

• • прямоугольник — прямоугольный параллелепипед;
• • равнобедренный треугольник — правильная четырехугольная пирамида;
• • точки верхнего основания прямоугольника принадлежат боковым сторонам равнобедренного треугольника — точки верхнего основания прямоугольного параллелепипеда принадлежат ребрам правильной четырехугольной пирамиды;
• • точки нижнего основания прямоугольника лежат на стороне основания равнобедренного треугольника — точки нижнего основания прямоугольного параллелепипеда принадлежат основанию правильной четырехугольной пирамиды;
• • длины сторон треугольника не изменяются — длины всех ребер правильной четырехугольной пирамиды не изменяются;
• • площадь прямоугольника стремится к нулю — объем прямоугольного параллелепипеда стремится к нулю.

При решении стереометрической задачи учитель предлагает школьникам придерживаться тех же этапов, что и при решении предыдущей планиметрической задачи. Таким образом, учащиеся сначала указывают инварианты, а затем переменные. Далее, рассмотрев возможные случаи, при которых объем прямоугольного параллелепипеда стремится к нулю, получаем ответ к данной задаче.

Предельные преобразования, описанные в условии стереометрической задачи, приводят к получению из прямоугольного параллелепипеда ABCDMNKF либо отрезка (высота правильной четырехугольной пирамиды SA₁B₁C₁D₁, опущенная из вершины S), либо квадрата (основание AyBjCjDy правильной четырехугольной пирамиды ВАД^СфОЦ.

Как показала практика, учащиеся с большим интересом решают и устанавливают связь между парой задач, в которых один и тот же факт рассматривается со стороны как планиметрии, так и стереометрии, нежели когда задачи не связаны между собой. Решение пар аналогичных задач в большей степени способствует осознанию школьниками внутрипредметных связей курса геометрии.

В следующих примерах рассматриваются задачи, при решении которых учащиеся составляют их аналоги.

Так, при решении следующей задачи предполагается составление ее более легкого аналога и перенесение метода решения от этого аналога к исходной задаче, что соответствует правилу вывода по аналогии, описанному в параграфе 1.5 (правило 1).

Задача 2.10. Докажите, что если точка перемещается во внутренней области правильного тетраэдра, то сумма расстояний от этой точки до всех граней тетраэдра остается постоянной.

Решение. Как показали наши исследования, данная задача представляет трудность не только для учащихся, но и для студентов.

Чтобы найти ее решение, учитель ставит перед учащимися проблему: можно ли для поиска решения указанной задачи использовать решение какой-либо другой задачи?

Учащиеся под руководством учителя составляют вспомогательную задачу, затем ее решают и далее найденное решение переносят на исходную задачу, опираясь на следующую гипотезу: если при поиске решения исходной задачи составить и решить более легкую вспомогательную задачу, аналогичную исходной по рассматриваемым объектам, то, возможно, решение исходной задачи будет аналогично решению вспомогательной задачи.

На этапе поиска вспомогательной задачи необходимо выделить те геометрические фигуры и отношения, которые рассматриваются в исходной задаче. После чего уместен такой вопрос учителя: «Для каких геометрических фигур плоскости можно выделить и указать те же отношения, что и рассматриваемые в стереометрической задаче?».

При организации поиска вспомогательной задачи можно пойти и несколько иным путем, а именно: предложить учащимся в условии исходной стереометрической задачи заменить пространственные фигуры и связанные с ними понятия на аналогичные планиметрические.

Вспомогательной планиметрической задачей к указанной выше стереометрической будет следующая.

Задача 2.11. Докажите, что если точка перемещается во внутренней области правильного треугольника, то сумма расстояний от этой точки до сторон треугольника остается постоянной.

К такой задаче возможно представить более наглядный чертеж (рис. 2.27), чем в случае стереометрической задачи.

Рис. 2.27.

Заметим, что решение вспомогательной задачи не всегда является очевидным, поэтому при поиске ее решения целесообразно учителю привести примеры таких задач (теорем), метод решения которых известен школьникам и которые аналогичны вспомогательной задаче по методу решения. В случае приведенной вспомогательной задачи это может быть теорема Пифагора.

Решение вспомогательной задачи 2.11 выглядит следующим образом.

• 1. Пусть дан правильный треугольник АВС (см. рис. 2.27) со стороной, равной а.
• 2. Чтобы решить задачу, нам необходимо показать, что ОА_г + ОВ_а + + ОС_а = const, если точка О — произвольная точка внутренней области правильного треугольника АВС и отрезки ОА_г, OB_v ОС_г есть перпендикуляры к сторонам этого треугольника.
• 3. Соединим точку О с вершинами треугольника АВС, тем самым разобьем его на три треугольника ОВС, ОАС и ОАВ.
• 4. Поскольку треугольник АВС составлен из нескольких треугольников ОВС, ОАС и ОАВ, то его площадь равна сумме площадей этих треугольников: S^osc + ^*олс ⁺^*оав = S_aABC.
• 5. Из этого равенства получаем:

6. Поскольку в данной задаче треугольник АВС не изменяется, то его сторона а остается постоянной, значит, следовательно, ОД, + ОВ] + ОС] = const.

Итак, решение планиметрической задачи найдено. Далее учащиеся используют его для нахождения решения исходной стереометрической задачи 2.10.

Сохраняя такую же последовательность этапов 1—6, будем строить доказательство стереометрического факта, при этом целесообразно, когда школьники перед глазами имеют решение вспомогательной задачи, а рядом записывают решение задачи исходной.

Учитель (в последующем это делают ученики) выделяет на каждом этапе те объекты, которые будут заменяться их пространственными аналогами. Затем, сохраняя идею каждого этапа, прописывает эти этапы для стереометрических аналогов.

Отметим, что найденное таким образом решение стереометрической задачи получено синтетическим способом, гораздо полезнее провести анализ данной задачи, используя для этого уже имеющееся решение планиметрической задачи.

Приведем ниже доказательство стереометрического факта, сохранив те же этапы, что и при доказательстве планиметрического утверждения.

1. Пусть дан правильный тетраэдр SABC (рис. 2.28) с ребром, равным Ь.

Рис. 2.28.

• 2. Чтобы решить задачу, нам необходимо показать, что ОА_х + ОВ_] + + OCj + OS_a = const, если точка О — произвольная точка внутренней области правильного тетраэдра SABC и отрезки ОА_ь ОВ_ь ОС_ь OSj есть перпендикуляры к граням этого тетраэдра.
• 3. Соединим точку О с вершинами тетраэдра SABC. С помощью внутренней точки О тетраэдр SABC может быть разбит на четыре тетраэдра OSBC, OSAC, OSAB и ОАВС.
• 4. Поскольку тетраэдр SABC составлен из нескольких тетраэдров OSBC, OSAC, OSAB и ОАВС, то его объем равен сумме объемов этих тетраэдров:

5. Из этого равенства получаем:

6. Поскольку в данной задаче тетраэдр SABC не изменяется, то его.

ребро Ь остается постоянным, значит,, следовательно,.

ОА_л + OB_l + OCj + OS_a = const.

Как было отмечено ранее, использование аналогии может приводить и к ложным выводам. Показывать учащимся примеры, в которых результат предельных преобразований не всегда совпадает с ожидаемым результатом, необходимо, ибо игнорирование таких примеров приводит к тому, что у школьников складывается убежденность в истинности всех выводов по аналогии.

Задача 2.12. Найдите предел длин ломаных L_n: АА_п…С_пС (при п —> оо), если ломаные построены по правилу:

• 0- й шаг. Примем сторону АС за основание треугольника АВС, тогда его стороны АВ и ВС составляют искомую ломаную, обозначим ее L₀: АВС.
• 1- й шаг. Середину основания треугольника АВС соединим с серединами его боковых сторон. Получим два треугольника AAjBj и BjCjC и ломаную, состоящую из боковых сторон этих треугольников, — Lj: АА_]В₁С_]С.
• 2- й шаг. С каждым из полученных треугольников АА_гВ₃ и ВjCjC совершим те же действия, что и с треугольником АВС. Получим четыре треугольника АА₂В₂, В₂К₁В₁, В₁К₂В₃ и В₃С₂С и ломаную, состоящую из боковых сторон этих треугольников, — L₂: АА₂В₂К₁В₁К₂В₃С₂С.

п-й шаг. Совершая каждый раз с вновь получаемыми треугольниками те же действия, что и с треугольником АВС, получим на п-м шаге 2^П треугольников и ломаную, состоящую из боковых сторон этих треугольников, — L_n: АА_п…С_пС (рис. 2.29).

Рис. 2.29.

Введем следующие обозначения: АВ = с, ВС = а, АС = Ъ. Тогда первоначально длина ломаной L₀: АВС равна сумме длин отрезков АВ и ВС, т. е. с + а.

На каждом шаге изменяется количество звеньев ломаной, каждый узел которой при п —> со приближается к стороне АС, т. е. ломаная Ln: АА_п…С_пС стремится занять положение отрезка АС. Поэтому легко сделать неверное предположение, что ее длина будет равна Ь, если п —> оо.

На каждом шаге преобразований мы заменяли два соседних звена ломаной на четыре, причем в каждом случае сумма длин этих четырех звеньев равнялась сумме длин двух заменяемых звеньев.

Например, покажем, что.(см.

рис. 2.29).

Так как А1₁К" ₁В₂А₂ — параллелограмм, то.

Поэтому длина ломаной L_n: АА_п…С_пС равна с + а при любых значениях п.

При анализе задачи целесообразно показать (и выполнить изображение), что найденная закономерность характерна не только для остроугольного треугольника, который мы рассматривали, но и для всех прямоугольных и тупоугольных треугольников. Для наглядности можно взять нитку и выполнить с ней действия, аналогичные шагам получения ломаной L_n: АА_п…С_пС. Тогда получим, что нитка «уложится» в определенный отрезок, а длина ее останется прежней.

Анализируя задачи, в которых использование аналогии может привести или приводит к ложным выводам, целесообразно предлагать учащимся находить причины возникновения ошибочных выводов. Если такие причины школьники назвать самостоятельно не могут, учителю следует либо самому указывать на них, либо подводить школьников к их обнаружению.

Так, в данной задаче, хотя ломаная L_n: АА_п…С_пС и приближается к основанию АС треугольника АВС, но все же она остается «зубчатой», наглядность же приводит к тому, что ломаная «выпрямляется». Изменение длины ломаной происходило, если бы изменялись величины углов между ее звеньями.

Более сильным учащимся можно показать, что при п —" оо данная задача является одной из геометрических интерпретаций неопределенности вида [0 • оо]. в самом деле, чтобы найти длину ломаной, необходимо найти сумму длин ее звеньев.

В нашем случае ломаная L_n: АА_п…С_пС состоит из 2 • 2п звеньев, из них половина звеньев, параллельных АВ, имеет длину , а вторая половина звеньев, параллельных ВС, имеет длину . Тогда юз.

Практика показала, что если на начальном этапе обучения целесообразно для решения предлагать учащимся такие задачи, в которых параллельно формулируется плоскостной и аналогичный ему пространственный факт, то по мере осознания школьниками связей между планиметрическими и стереометрическими объектами полезно предлагать им составлять, а затем решать задачи, аналогичные данным. Это будет способствовать не только осознанию школьниками самих задач, их метода решения, но и установлению внутрипредметных связей между фактами планиметрии и стереометрии.

Составление новых задач на основе исходной соответствует правилу вывода по аналогии, приведенному нами в параграфе 1.5 (правило 1).

При составлении новых задач мы использовали различные способы. Укажем три наиболее часто встречающихся.

1. Замена некоторых геометрических фигур на аналогичные им.

При составлении новых задач на основе исходной учащиеся, как правило, заменяют в ее условии геометрические фигуры на те или иные их аналоги. Одним из путей нахождения таких фигур является использование списка пар аналогичных понятий планиметрии и стереометрии. В тех же случаях, когда учащиеся не использовали такой список для нахождения аналогичных фигур, целесообразно сравнить найденные ими фигуры с имеющимися в списке, а при отсутствии таковых, дополнить сам список.

2. Изменение отношений, которыми связаны фигуры в задаче.

Данный способ наиболее характерен для предельных преобразований. Это связано с тем, что, изменяя предельные значения величин, рассматриваемых в задаче, довольно часто можно получить новую задачу, формулировка условия которой имеет смысл.

Если для геометрических фигур, рассматриваемых в задаче, можно указать, какие из них «внешние», а какие «внутренние», то изменение таких отношений на противоположные им также может привести к получению новых задач.

В условии многих задач указано, какие элементы геометрических фигур не изменяются, а какие изменяются. Тогда замена таких характеристик фигур на противоположные может привести к получению новых задач.

3.

Введение

числовых данных в условие задачи.

При анализе ответа к решенной задаче необходимо ответить на вопрос о его единственности. Если указанные в условии задачи преобразования приводят к однозначному результату, то можно говорить о составлении новых задач на базе исходной путем введения в ее условие числовых данных. Например, ввести численные значения сторон, углов и т. д. Если же ответ задачи неоднозначен, то целесообразно говорить о введении в ее условие данных, необходимых для конкретизации ответа.

На примере следующих задач (задача 2.13 — способ 2, задача 2.14 — способы 1 и 3) опишем деятельность учителя и учащихся по составлению новых задач на базе исходной.

Задача 2.13. Угол, А равен (р, окружность постоянного радиуса г касается его сторон в точках М и N. Чему будет равна длина отрезка МАГ, если ф —" 180°?

Искать решение нескольких однотипных задач иногда бывает легче, чем тратить усилия на поиск решения лишь одной задачи. Поэтому составим несколько задач, подобных данной, и решим их.

Учитель предлагает школьникам выделить в условии задачи то предельное значение переменной, стремление к которому приводит к предельному преобразованию геометрических фигур. Далее ставится вопрос о возможности рассмотрения других предельных значений переменной, нежели данного в условии задачи. На первых порах обучения предельным преобразованиям учителю следует самому предлагать такие значения, затем учащиеся могут выделять их самостоятельно.

В задачах, связанных с предельной аналогией, мы рассматривали предельные значения переменной, такие как нуль, бесконечность, минимум, максимум и значение, равное постоянной. Отметим, что иногда рассматривать все предельные значения не позволяет условие задачи, иногда различные предельные значения приводят к одинаковому результату.

Так, относительно задачи 2.13, в случае, когда ф —> min аналогичен случаю ф —> 0°, случай ф —> max аналогичен случаю ф —> 180°.

В тех случаях, когда в качестве предельного значения переменной величины мы хотим взять какое-либо постоянное ее значение, полезно предлагать учащимся определять те границы значений переменной величины, при выходе за которые задача теряет смысл.

В данной задаче в качестве постоянных предельных значений ф можно взять те, которые не меньше 0° и не больше 180°.

С учетом сказанного решаемая задача может быть дополнена следующим образом.

Задача 2.13'. Угол А равен ф, окружность постоянного радиуса г касается его сторон в точках МиЫ (рис. 2.30). Чему будет равна длина отрезка МАГ, если: а) ф —" 180°; б) ф —" 90°; в) ф —" 60°; г) ф —" 0°?

Рис. 2.30.

Из условия задачи следует, что инвариантом (т.е. неизмененным) является окружность (О, г). Сохраняется также принадлежность точек М и N этой окружности и сторонам угла А.

Поэтому удобно зафиксировать окружность (О, г) на плоскости и для изменения величины угла А перемещать его вершину (соответственно будет изменяться и положение лучей AM и AN относительно фиксированной окружности).

Тогда при стремлении (р к значениям 180°, 90°, 60° и 0°, получим различные комбинации угла и окружности, которым отвечают изображения соответственно на рис. 2.31, а — г. Для нахождения предельных значений отрезка MN воспользуемся этими изображениями.

Рис. 2.31.

• а) В результате данного предельного преобразования угол А преобразуется в развернутый угол А_г (см. рис. 2.31, а), а точки М и N будут стремиться к вершине утла, поэтому lim MN = 0.
• б) M₂N₂ — >/2 г — как диагональ квадрата ON₃A₃M₃ (см. рис. 2.31, б).
• в) M₃N₃— 2 М₃К₃= 2M₃OsinZM₃OK₃- 2rsin60°= л/з г (см. рис. 2.31, в). В общем случае MN = 2rsin[(180° - ф)/2] (см. рис. 2.30).

Поэтому

г) В результате данного предельного преобразования длина отрезка MN будет стремиться к значению, равному 2 г.

Как показал наш опыт, случай г) представляет наибольшую трудность для учащихся, которые «с ходу» дают неверный ответ: при ф —" 0°, длина отрезка MN стремится к нулю, объясняя это тем, что расстояние между сторонами угла будет стремиться к нулю, если величина этого угла стремится к нулю.

Для предупреждения такой ошибки следует указать учащимся на то, что окружность имеет постоянный радиус и она зафиксирована нами на плоскости, а вершина угла перемещается на очень большое расстояние от центра этой окружности. Поэтому в изображении такой комбинации утла и окружности мы сделали разрыв сторон угла (см. рис. 2.31, г) и рассматриваем ту его часть, где находится данная окружность. Тогда видно, что отрезок MN стремится занять положение диаметра окружности (О, г), поэтому lim MN = M₄N₄ = 2 г.

ср—>0°.

При анализе решения задачи следует обратить внимание учащихся на тот факт, что при уменьшении величины угла А длина отрезка MN увеличивается (табл. 2.6), причем крайним предельным значениям ф соответствуют крайние предельные значения MN.

Таблица 2.6

Соответствие величины угла и длины отрезка

Данная задача может выступать средством решения других задач, например таких.

1. В прямоугольный равнобедренный треугольник вписана окружность единичного радиуса. Расстояние между точками касания окружности с катетом и гипотенузой этого треугольника равно: а) ;

б) . Известно, что один из этих ответов верный, а другой нет.

Укажите верный ответ.

Решение. Условие задачи соответствует условию задачи 2.13, если Ф —" 45°. Значение находится в пределах от

до Тз"1,73, поэтому ему будет соответствовать угол от 60° до 90°, значит, ответ б) неверный, следовательно, ответ а) является верным.

2. Из куска картона сворачивают кулек (конусообразную поверхность) и кладут в него теннисный шарик радиуса 1,5 см. Можно ли свернуть кулек так, чтобы диаметр окружности, состоящей из точек касания шарика и кулька был равен 4,5 см?

Решение. Если для решения этой задачи использовать решение задачи 2.13, то вопрос будет звучать так: существует ли угол ф, такой что MN —" 4,5, если г = 1,5? Такого угла не существует, поскольку все значения MN заключены в промежутке от 0 до 2 г, или от 0 до 3 см при г — 1,5 см.

Составление новых задач на основе исходной может быть организовано не только за счет изменения предельных значений переменной величины. Другие способы получения новых задач являются более трудными, но вместе с тем и более интересными.

Как мы отмечали выше, при рассмотрении случая, когда ф —> 0°, возможны неверные ответы, их появление во многом связано с тем, что при решении не учитывается постоянство радиуса окружности (О, г). Это обстоятельство может явиться предпосылкой составления новой задачи, в которой постоянные величины становятся переменными, а переменные — постоянными.

При составлении новых задач полезно придерживаться следующих предписаний.

• 1. При решении исходной задачи выделить то место в ее решении, где ссылка на постоянную величину необходима.
• 2. Рассматриваемую постоянную величину заменить переменной, т. е. в условии задачи опустить равенство этой величины какому-либо фиксированному значению.
• 3. Определить, будет ли в таком случае задача иметь однозначное решение. Если не будет, то тем объектам, которые в условии задачи были динамичными, придать статический характер.
• 4. Определить, будет ли полученная задача иметь однозначное решение. Если нет, то необходимо ввести дополнительные данные в ее условие.

Рассмотрим реализацию таких предписаний относительно задачи 2.13.

1. Ссылка на неизменность радиуса окружности необходима при выделении случая, когда ф —> 0°.

Угол А равен ф, окружность постоянного радиуса г касается его сторон в точках М и N. Чему будет равна длина отрезка MN, если ф -> 0°?

2. Отбрасывая условие постоянства радиуса окружности, сформулируем задачу следующим образом.

Угол А равен ф, окружность касается его сторон в точках М и N. Чему будет равна длина отрезка MN, если ф -4 0°?

3. Такая формулировка задачи предполагает неоднозначность ответа. Действительно, один из вариантов представлен при решении исходной задачи, другой может быть таким: стороны AM и AN угла А будут приближаться к друг другу (при этом сжимая окружность), тогда MN будет стремиться к нулю.

Поэтому примем величину ф постоянной. Тогда один из вариантов новой задачи может быть таким.

Угол А равен ф, окружность радиуса г касается его сторон в точках М и N. К какому значению будет стремиться длина отрезка MN, если Ф = const и г —> 0°?

4. Полученная задача имеет единственное решение: длина отрезка при указанном в условии задачи предельном преобразовании будет стремиться к нулю.

Покажем еще один способ составления новых задач, который основан на изменении тех отношений, которыми связаны фигуры в условии задачи.

Суть такого способа заключается в следующем.

Учитель предлагает школьникам указать те геометрические фигуры, которые рассматриваются в условии задачи, и указать те, которые можно охарактеризовать как «внешние» и «внутренние» (или «описанные» и «вписанные»). Затем учащимся предлагается заменить «внешнюю» фигуру на «внутреннюю» и наоборот, а далее попытаться к ним применить те же отношения, что были описаны ранее.

Покажем сказанное на примере задачи 2.13.

Напомним формулировку исходной задачи. Угол А равен ф, окружность постоянного радиуса г касается его сторон в точках М и N. Чему будет равна длина отрезка MN, если ф —" 180°?

В задаче рассматриваются окружность, «вписанная» в угол, т. е. угол — «внешняя» фигура, а окружность — «внутренняя».

Изменим такое соотношение между углом и окружностью и будем рассматривать тот случай, когда окружность станет «внешней» фигурой, а угол — фигурой «внутренней». На рис. 2.32 мы изобразили один из таких вариантов.

Рис. 2.32.

Выделяя те преобразования, которые рассматриваются в исходной задаче, учащиеся получают идею преобразований для новой комбинации фигур. Так, для фигур, изображенных на рис. 2.32, возможна следующая постановка задачи.

Задача 2.13″. Стороны центрального угла окружности с центром О пересекают ее в точках М и N. К какому значению будет стремиться длина отрезка MN, если величина угла MON стремится к 180° и точка N — фиксированная точка данной окружности, радиус которой не изменяется и равен г?

На примере следующей задачи покажем составление новых задач путем замены в ее условии геометрических фигур на аналогичные им, а также путем введения числовых данных в условие задачи.

Задача 2.14. Прямая, а пересекает окружность в точках М и N. Найдите положение прямой, а относительно данной окружности, если MN -^Ои точка М — фиксированная точка окружности, причем радиус окружности не изменяется (для дальнейших рассуждений обозначим эту задачу как «задача А»).

Организовывать деятельность школьников по составлению новых задач на основе исходной следует так же, как это было сделано в случае работы по составлению вспомогательной задачи:

• 1) необходимо выделить фигуры и связанные с ними понятия, а затем определить те отношения, которыми они связаны;
• 2) указать те геометрические фигуры, которые можно считать аналогичными для фигур, рассматриваемых в задаче;
• 3) попытаться перенести отношения, рассматриваемые в исходной задаче, на фигуры, аналогичные тем, которые даны в исходной задаче.

Если следовать по указанным пунктам, то к задаче 2.14 можно составить следующую задачу.

Задача 2.14'. Плоскость а пересекает сферу. Найдите положение плоскости, а относительно данной сферы, если диаметр сечения стремится к нулю.

Такая задача имеет неединственное решение, поэтому изменим ее следующим образом.

Задача 2.14″ . Сечением сферы (О, Я) плоскостью, а является окружность (О_ь г). Точка G — фиксированная точка, принадлежащая сфере, является пересечением луча 00 j с данной сферой. Найдите положение плоскости а относительно данной сферы, если диаметр сечения стремится к нулю таким образом, что все точки окружности (0_1; г) стремятся к точке G. Радиус сферы не изменяется (обозначим эту задачу как «задача В»),.

К приведенным выше задачам Л и В можно составить аналогичные им задачи С и D, которые также аналогичны и между собой.

Задача С. Прямая а пересекает окружность в точках М и N. Найдите положение прямой а относительно данной окружности, если MN —> max и точка М — фиксированная точка окружности, причем радиус окружности не изменяется.

Задача D. Сечением сферы (О, Я) плоскостью, а является окружность (0_1; г). Точка G — фиксированная точка, принадлежащая сфере, является пересечением луча 00_: с данной сферой. Найдите положение плоскости а относительно данной сферы, если диаметр сечения стремится к своему максимальному значению таким образом, что плоскость сечения остается перпендикулярной к прямой 0G. Радиус сферы не изменяется.

Для учащихся представляет интерес то, что указанные задачи образуют своеобразные четверки аналогичных задач, связанных попарно внутренней и внешней аналогией (рис. 2.33).

Рис. 2.33.

На приведенной схеме (см. рис. 2.33) видно, что внутренняя аналогия существует между задачами А и С, В и D, а внешняя — между задачами А и В, С и D.

Существенным признаком предлагаемой нами методики обучения учащихся использованию аналогии при изучении стереометрии является обеспечение уровневой дифференциации. Менее подготовленных учащихся целесообразно оставлять на уровне работы лишь с готовыми парами аналогичных задач, более продвинутых учащихся — выводить на уровень составления четверок аналогичных задач, а для еще более способных учеников — создавать условия, когда они будут дополнять новыми уже составленные ими четверки аналогичных задач. В отношении последнего проиллюстрируем это на указанной выше четверке задач, дополнив ее задачами Е и F.

Выделим «идею» планиметрических задач: две плоскостные фигуры имеют две точки пересечения, расстояние между этими точками изменяется, принимая свое наибольшее или наименьшее значение. «Идея» стереометрических задач аналогична: две пространственные фигуры пересекаются по окружности, диаметр этой окружности изменяется, принимая свое наибольшее или наименьшее значение.

Теперь необходимо выделить две плоскостные фигуры, относительно которых мы можем реализовать отмеченную выше «идею». Плоскостные фигуры желательно подбирать так, чтобы относительно их пространственных аналогов можно было бы реализовать «идею», заложенную в стереометрической задаче.

Задача Е. Окружность (0_1; г_а) и окружность (0₂, г₂) пересекаются в точках М и N. Найдите то значение, к которому будет стремиться расстояние между центрами этих окружностей, если MN —> 0, а радиусы данных окружностей не изменяются.

Задача F. Сфера (0_1; г_х) и сфера (0₂, г₂) пересекаются по окружности (О, г). Найдите то значение, к которому будет стремиться расстояние.

in между центрами этих сфер, если диаметр сечения стремится к нулю, а радиусы данных сфер не изменяются.

Приведенные задачи Е и F можно описать схемой, которая представлена нами в гл. 1 на рис. 1.13. Отметим, что школьники, перенося свойства и отношения рассматриваемые между объектами одной задачи на другие объекты, устанавливают тем самым внутрипредметные связи между этими объектами. Поскольку такие объекты могут изучаться как в курсе планиметрии, так и в курсе стереометрии, то перенос следует рассматривать как реализацию внутрипредметных связей школьного курса геометрии При составлении новых задач могут использоваться различные описанные нами способы и их комбинации. Приведем задачу, которую мы получили из первоначально рассматриваемой задачи А, путем введения в ее условие числовых данных.

Задача 2.14″ '. Прямая а пересекает окружность (О, г) в точках М и N. Прямая b есть предельное положение прямой а, если точка М фиксированная и MN —" 0. Прямая с есть предельное положение прямой а, если точка N фиксированная и MN —> 0. Найдите площадь треугольника OMN, если г = 1 и прямая b перпендикулярна прямой с.

В заключение этого пункта отметим, что работу в классе по решению пар аналогичных задач, особенно по составлению новых задач на базе исходных, можно организовать по группам. Тогда задачи, составленные одной группой учащихся, можно предложить для решения другой группе.