Стратегия дисперсионного анализа

Проверяется нулевая гипотеза об отсутствии дефектов обработки Н₀: tj = т₂ = … = т_к = 0. Если гипотеза Н₀ справедлива, то все данные матрицы наблюдений принадлежат одному и тому же распределению, т. е. данные однородны: а₁=а₂ = … = а_к. Различие между столбцами (для разных станков или уровней фактора) объясняется лишь эффектом случайности. На этом однофакторный ДА заканчивается.

Когда гипотеза Н₀ отвергается и принимается альтернативная гипотеза Ну. * а₂* … * а_к [23], различие в средних значениях отклика обусловлено не только эффектом случайности, но и действием исследуемого фактора. В этом случае строятся доверительные интервалы для воздействий уровней фактора а_;, j = 1,…, К, и определяются однородные уровни, которые имеют близкие значения отклика Y.

Базовая таблица однофакторного дисперсионного анализа. F-отношение

Пусть Q — общая (полная) сумма квадратов отклонений отдельных наблюдений отклика у,-, относительно общей средней у,

где является оценкой математического ожидания р, р = у. После ряда преобразований можно получить следующее основное тождество дисперсионного анализа о разбиении величины Q на слагаемые:

где  — средние значения столбцов матрицы наблюдений, т. е. средняя арифметическая т наблюдений j-ro уровня фактора. Замена индекса точкой означает результат суммирования по этому индексу. Величина у._; является оценкой а, — воздействия фактора на j-м уровне, а, = у.у

Слагаемое Q_M0/( характеризует расхождения между уровнями фактора Oj, j = 1, …, К, т. е. вклад в общую сумму квадратов, обусловленный рассеянием за счет исследуемого фактора. Его часто называют суммой квадратов между группами наблюдений. Этот вклад можно считать обусловленным введенной моделью.

Слагаемое Q_0CT характеризует случайную изменчивость наблюдений внутри групп за счет неучтенных факторов. Его часто называют суммой квадратов внутри групп или остаточным рассеянием.

Основные зависимости однофакторного ДА представлены в табл. 8.2.

Таблица 8.2

Базовая таблица дисперсионного анализа.

Источник дисперсии.	Сумма квадратов.	Число степеней свободы.	Средний квадрат (оценка дисперсии).
Между группами.
Внутри групп (остаточное рассеяние).
Полная (общая).

Число степеней свободы в общем случае равно числу независимых наблюдений, уменьшенному на число параметров, оцениваемых по этим наблюдениям при вычислении статистики. Например, при вычислении Q_0CT число наблюдений равно Кт, число оцениваемых параметров y.j равно К, поэтому число степеней свободы — К (т — 1). Зная суммы квадратов Q, <2_М0Д и Q_0CT и их числа степеней свободы, вычисляют соответствующие дисперсии: общую Sy, межгрупповую Б^_од и внутригрупповую S^_cr (см. табл. 8.2).

Для проверки нулевой гипотезы об отсутствии влияния фактора А (эффектов обработки) на размеры деталей Y используется F-отношение

имеющее F-распределение с {К — 1, К (т — 1)) степенями свободы. Чем сильнее нарушается гипотеза Н₀, тем большую тенденцию к возрастанию проявляет F-отношение. Для уровня значимости, а находят критическое значение F^. При F > F_}__a нулевая гипотеза отвергается и делается заключение о существенном влиянии фактора А.