Градиентный идентификатор. 
Теория автоматического управления. 
Многомерные, нелинейные, оптимальные и адаптивные системы

Пусть a (t) является оценкой в момент t вектора неизвестных параметров, а в (12.42). Оценка выхода которая получается при подстановке в (12.42) вместо а его оценки, называется прогнозируемым выходом, а разность.

— прогнозируемой ошибкой. Очевидно, прогнозируемая ошибка есть не что иное, как невязка (этот термин был определен при рассмотрении фильтра Калмана-Бьюси). Подставив в (12.46) выражения для y (t) из (12.42) и y (t) из (12.45), получим.

Рассмотрим алгоритм для получения оценки (алгоритм идентификации), использующий невязку.

Здесь 7 — положительная константа.

Алгоритм (12.48) является градиентным: его правая часть пропорциональна градиенту квадрата модуля невязки |е_п|² = е"е_п по вектору параметров а. Действительно, для указанного градиента имеем

или, учитывая (12.47),

Отсюда следует, что в правой части (12.48) стоит векторная величина, пропорциональная указанному градиенту (с обратным знаком).

Исследуем, обеспечивает ли градиентный алгоритм идентификации (12.48) сходимость параметрической ошибки к нулю при t оо. Как следует из (12.47), невязка e_n(t) связана с параметрической ошибкой (ошибкой оценки) а = а — а соотношением.

Подставив это выражение для е_п(?) в алгоритм идентификации (12.48) и учитывая равенство, а = а, получим.

Выберем в качестве кандидата на функцию Ляпунова квадрат модуля ошибки оценки

Ее производная по времени в силу приведенного выше уравнения для а (?) имеет вид.

Следовательно, градиентный идентификатор, т. е. идентификатор, использующий градиентный алгоритм идентификации, устойчив по Ляпунову. И так как функция Ляпунова равна квадрату модуля параметрической ошибки, то эта ошибка будет убывать. Однако будет ли она стремится к нулю, зависит от сигнальной матрицы W (t), которая в свою очередь зависит от внешних воздействий.

Чтобы исследовать зависимость оценки от сигнальной матрицы, рассмотрим оценку параметров, когда в идентификационной модели у — Wa все величины являются скалярными. Согласно градиентному алгоритму

В этом случае уравнение для ошибки оценки принимает вид.

или Проинтегрировав последнее уравнение от 0 до t, получим.

Отсюда следует, что ошибка а сходится к нулю, если.

Последнее условие будет выполнено, и параметрическая ошибка будет экспоненциально сходится к нулю, если существуют положительные постоянные Т и, а такие, что при любых t ^ 0 имеет место неравенство

т. е. выполняется условие постоянного возбуждения сигнала W (t). Ясно, что если W (t) является константой, то гарантируется экспоненциальная сходимость.

Полученный выше результат для одного параметра можно распространить на случай многих параметров [69]: если матрица сигналов W (t) удовлетворяет условию постоянного возбуждения, т. е. существуют положительные константы Т и, а такие, что при любых t ^ 0 имеет место неравенство.

то параметрическая ошибка экспоненциально сходится к нулю при.

t -> оо.

Выше в алгоритме оценивания (12.48) был использован скалярный коэффициент 7. Несколько более общий алгоритм идентификации получим, если вместо скалярного коэффициента усиления принять положительно определенную матрицу Г, называемую матрицей коэффициентов усиления:

Устойчивость этого алгоритма можно доказать, приняв в качестве кандидата на функцию Ляпунова квадратичную форму V(а) = = а^гГ^-1а.

Коэффициент усиления 7 (матрица коэффициентов усиления Г) оказывают сильное влияние на характер сходимости алгоритма идентификации. В случае одного параметра легко видеть, что чем больше 7, тем скорость сходимости больше. В случае многих параметров связь между 7 и скоростью сходимости не такая простая. Как показывают исследования [69], на некотором малом интервале увеличение оценочного коэффициента усиления может привести к увеличению скорости сходимости. Но вне указанного интервала дальнейшее увеличение этого коэффициента может привести к колебаниям и более медленной сходимости.

Кроме влияния на скорость сходимости, выбор 7 оказывает также влияние на способность идентификатора следить за изменяющимися параметрами и противостоять возмущениям.

Свойство робастности. Чтобы идентификатор имел практическое значение, он должен обладать робастностью (грубостью), т. е. он должен выдавать удовлетворительную оценку при изменении параметров при наличии шума измерения и других возмущений.

Качество градиентного идентификатора зависит от нескольких факторов, главными из которых являются:

• — уровень постоянного возбуждения матрицы сигналов W (t);
• — скорости изменения параметров и уровня непараметрической неопределенности;
• — величины оценочного коэффициента усиления 7.

Уровень постоянного возбуждения W (t) определяется задачей управления. Постоянное возбуждение существенно для робастности идентификатора. Если сигнал постоянно не возбуждается, параметры не будут сходиться к точному значению даже при отсутствии непараметрической неопределенности. При наличии непараметрической неопределенности идентификатор может стать неустойчивым. Может оказаться, что нужно добавлять некоторое возмущающее воздействие к управлению, чтобы получить качественную оценку параметров.

Если оцениваемые параметры изменяются, то чем быстрее происходят эти изменения, тем больше непараметрические неопределенности влияют на качество оценки параметров. Очевидно, чем быстрее изменяются параметры, тем труднее получить точную оценку. Кроме того, чем выше уровень шума и больше неучтенных возмущений и динамики, тем идентификатор функционирует хуже.

Пример 12.3. Задан объект.

где аь 6о — неизвестные параметры.

Требуется определить алгоритм адаптивного управления, при котором по окончании процесса адаптации свободное движение основного контура будет описываться функцией.

Решение. Свободное движение будет описываться указанной функцией, если уравнение основного контура при отсутствии внешнего воздействия будет иметь вид.

Пусть алгоритм управления основного контура имеет вид Подставив это выражение в уравнение объекта, получим.

или Это уравнение примет требуемый вид, если имеет место равенство.

Но так как параметры ai и 6о не известны, воспользуемся их оценками. Тогда для алгоритма управления получим

Найдем алгоритм идентификации. Идентификационная модель имеет вид.

где Градиентный алгоритм идентификации (12.48) принимает вид.

Подставив это выражение в алгоритм идентификации, получим Уравнения фильтров, на выходах которых получаем у пи, имеют вид.